推 AZsorcerer : 非常感謝！ 12/17 14:42
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 12/17/2019 16:14:17
※ 引述《AZsorcerer (AZ)》之銘言：
: 已知p為質數，如果方程式
: (x^2 -5x -5) / (3p^2 +p +19) =1有正整數解
: 試問所有可能的p值為何？
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: 已經爆開過找出5和23
: 目前我嘗試過用判別式，但配不出東西
: 用mod只找出p同餘5(mod6)
: 但仍然缺乏一個找上限的方法
: 感謝
先整理、分解，x^2-5x-24 = 3p^2+p => (x-8)(x+3)=p(3p+1)
因為 p 是質數，所以 p|x-8 或 p|x+3。
先看 p|x-8，可設 x-8=pq，代回去得 pq(pq+11) = p(3p+1)，
對 p 整理得 p(q^2-3)+11q-1=0。
所以 q^2-3 和 11q-1 異號，q 只能是 1 或比 -1 小，檢查一下就知道都不合。
所以 p|x+3，可設 x+3=pq，代回去得 pq(pq-11) = p(3p+1)，
對 p 整理得 p(q^2-3) = 11q+1。
所以 q^2-3 和 11q+1 同號，q 只能是 -1 或比 1 大。
當 q = -1 時，p = 5、x = 13。
如果 q 是正的，那就觀察 q^2-3 | 11q+1，
所以 (11q+1)(11q-1)-121(q^2-3) = 362 也是 q^2-3 的倍數。
q^2-3 只能是 1, 2, 181, 362，但後面三個都不合，即 q = 2。
此時 p = 23、x = 43。
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簡單來說，你要的上限是由「362 的因數」來提供的。
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※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 12/16/2019 15:48:05