Re: [其他] 為甚麼 1+1=2 要證明

[llrabel (不屈不撓)]

※ 引述《china2025 ()》之銘言：
: 我不曉得有沒有po錯版
: 因為也許它是個哲學問題
: 但是我看它像是數學
: 所以來數學版問一下~
: 就是
: 1+1=2 為甚麼需要證明呢
: 謝謝
突然聽到 1+1=2 要證明，的確是有點沒頭沒腦的。要理解這件事，
就要知道數學的理想是
「所有宣稱的事情(定理)，都能從有限多條基本假設(公設)出發，
用邏輯推得，而不依靠直覺判斷。」
只有「公設」(axiom，也翻成「公理」)是我們決定不再證明的基本假設，
其他都要證明。要強調的一點是，公設是「決定」的，
因此只要我們高興 (並且在邏輯上不產生矛盾)，我們也可以考慮不同的公設。
從某個角度來說，數學就是探討「從一組給定的公設，能推導出什麼」的學問。

對於 1+1=2，一般人之所以會覺得它需要證明是莫名其妙，是因為它太簡單了。
但對數學家來說，簡單跟不用證明是兩回事。只要它沒有被當成公設，就要證明。
所以，重點其實不在於它要證明，而是我們想把它放在什麼樣的公設之上來證明。
一般來說，它是被視為正整數系統裡的一個事實。
而正整數系統就我的印象有兩種建立方式 (可能有不止兩種，只是我只聽過兩種)。
搜尋了一下....一種就是在推文中提到的，
由 Peano 提出的方法 (搜尋 Peano axioms)：直接「假設存在一個集合，
稱為正整數集，滿足blahblah...(就是一堆公設)」。
然後定義 “+” (以及其他運算) 是什麼意思。
另外一種方法，對外行人來說更深奧，直接用集合論的語言來構造正整數系，
也就是說背後的公設就直接採用集合論的公設。
可以搜尋 Set-theoretic definition of natural numbers。
無論採用哪一種，只要決定好了，證明 1+1=2 就是一個「明確的習題」。
如果沒有講清楚，直接叫人證明 1+1=2，沒人知道要幹什麼。

最後應該要說一下，數學家去證明 1+1=2 這種顯然得不得了的事，
絕對沒有質疑它的意思。沒有人敢質疑它。反之，是把這個「一定要對」的事，
當成對自己的測試。為了完成開頭所提到的理想，
數學家必須挑戰自己能不能從邏輯上構造出一個系統，裡面包含這件事。
數學家在意的是怎麼建構系統，而不是 1+1=2 的正確性。

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推 AntiForm    : 推
→ recorriendo : 討論這個不是都要提到本版置頂文嗎XD
→ yhliu       : 其實置頂文那一篇長文, 是從 0, 1, 2...等 "自然數"
→ yhliu       : 的構建開始, 經自然數集的定義, 加法的定義, 最後才
→ yhliu       : 到 1+1=2 的證明. 當加法定義了以後, 1+1=2 已經很
→ yhliu       : 容易就能證明了.