→ jetzake : 其實就只是個"符號" 類似"√4剛好等於2"的概念而已 12/22 00:22
→ jetzake : 循環小數只是一個描述無限逼近的概念 12/22 00:23
→ jetzake : 後面那個等號就是他逼近的對像 如此而已 12/22 00:23
(1)
https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1576468455.A.B67.html
0.999... = 1? 這種問題已經變成PTT月經文了XD
結果我無聊google 發現:
https://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6#cite_ref-41
原來外國也是在熱烈討論啊XD
回到最上面那個連結，我覺得他想問的問題應該是為什麼用無限小數比較兩個實數(甚至
有理數)，為甚麼會和0.999....=1結果不一樣
n
那這個大家也大多認定0.999... = lim Σ 9/10^k
n->inf k=1
那我覺得他的問題等在於不知道在實數系order到底是怎麼定，導致會想用高位到低位
比大小的方式比較2個數，那我覺得在不讀到高微等分析學和代數的情況下，只要用
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction from Cauchy sequences
"Two Cauchy sequences are called equivalent if and only if the difference
between them tends to zero"
n
像這樣1-0.999... = 1 - lim Σ 9/10^k = lim (1-Σ 9/10^k) = lim 10^(-n)
n->inf k=1 n->inf n->inf
利用 10^(-(n+1)) = 1/10 * 10^(-n) < 10^(-n) for all n in N
和Monotone Convergence Theorem，就可以得到 1-0.999... = 0
n
所以實際上即使不去求出 lim Σ 9/10^k 也可以得出兩數相等
n->inf k=1
也就是原PO認知到比較大小方式並不適用到實數系(甚至是有理數系)
Eg: 原PO 0.999... vs 1 (老實說，高中應該也有教把循環小數化為分數的
做法，在比較0.499... vs 1/2 = 0.5，那照理說這個地方早該要有疑問才對 XD)
但這種比較法也偶爾會成立
Eg: 5/12 =0.41666... vs 3/7 = 0.428571472857...
所以我只覺得原PO不過只是舉出他覺得那種對的比較法的反例而已...
不過好像大家都集中在那個0.999... 是多少，我感覺是沒回答到原PO問題，各位覺得呢?
_ _
(2) 還有像是x = 0.9 => 10x = 9.9 9x = 10x-x = 9 => x = 1有人認為這證法不對
n
我覺得在0.999... = lim Σ 9/10^k ，利用ratio test可以證明該級數收斂
n->inf k=1
既然收斂就可以做四則運算和係數積，所以把那這作法這樣解釋，應該很合理啊 XD
(3) Math版也有這種討論，只是問題不太一樣，我個人也很同意V大說的用Cauchy
sequence的等價關係去定義實數和數的order，只是好像很多人不了解order這種東西
是需要定義，其中一個就是把兩數相減，然後這個符合total order，這樣就不會產生像
原PO的問題
題外話: 其實我偷懶的時候比較兩分數，也會把它展成decimal approximation，但實際上
合理的方式還是要兩個通分，這對應到有理數相等也是用: p/q = m/n iff pn = qm，
並且發現到可以把這些數用equivalent class 定義，也顯示有理數表示法不唯一，
不知道為甚麼換到實數又有人覺得唯一了XD
(4) 無窮小我看了之前的討論有nonstandard analysis，但在這個之前，我還是只能用
ε-δ去解釋無窮小和無窮大的意義，老實說這對初學者的確不好理解，所以有點好奇，
未來會不會有可能用nonstandard analysis的無窮小上微積分呢?
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