→ TeitoKlein : 花了一些時間書寫 終於懂了 謝謝V大! 12/23 21:43
※ 引述《TeitoKlein (Ted)》之銘言：
: 不好意思還有兩題想請教
: 兩題都是問使級數收斂的條件
: 無窮 n
: 1. Σ (Π (2k-1)/2k )^p 求級數收斂的p值範圍 (Ans: p > 2)
: n=1 k=1
以下只是為了說明 Π_{k=1}^n (2k-1)/2k = O(n^-0.5)。
先令 A_n = Π_{k=1}^n (2k-1)/2k, B_n = Π_{k=1}^n 2k/(2k+1)
那麼 A_n*B_n = 1/(2n+1)，而且顯然 A_n > B_n，所以 A_n > 1/√(2n+1)。
又 A_n*B_{n-1} = 1/2n，而且 2A_n < B_n-1，所以 A_n < 1/√n。
Σ(2n+1)^(-p/2) < 原級數 = ΣA_n < Σn^(-p/2)，
當 p > 2，Σn^(-p/2) 收斂。
當 p ≦ 2，Σ(2n+1)^(-p/2) 發散。
: 無窮 n
: 2. Σ [n!/(n^p * Π (q+k))] 求級數收斂的p+q值範圍 (Ans: p+q > 1)
: n=1 k=1
以下只是在說明 Π_{k=1}^n (q+k)/n! = O(n^q)。
首先，q 其實不能是負整數。
然後，如果 q+1 是負的，就不要看他。
因為 Σ_{n=1}^∞ [n!/(n^p * Π_{k=1}^n (q+k))]
和 Σ_{n=1}^∞ [n!/(n^p * Π_{k=2}^n (q+k))] 其實也只差一個 q+1 倍。
依此類推，我們不看的項終究有限，
畢竟從 k = max{[-q]+1,1} 開始，q+k 都是正的了。
用 K 稱呼 max{[-q]+1,1}。
意思是這樣的，原式從第 K 項開始的和可以改寫成這樣：
(K-1)!/Π_{k=l}^{K-1} (q+k) * Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p*Π_{k=K}^n (q+k))]，
我們其實只要看後面的 Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))] 就好。
明確一點說，我們要看的是 n!/(K-1)!/Π_{k=K}^n (q+k)。
n!/(K-1)!/Π_{k=K}^n (q+k)
= 1/(1+q/K)(1+q/(K+1))...(1+q/n)
< [( 1/(1+q/K) + 1/(1+q/(K+1)) + ... + 1/(1+q/n) )/(n-K+1)]^(n-K+1)
< [ 1-q/(n-K+1)*(1/(n+q) + ln(n/K)) ]^(n-K+1)
< e^{-q*(1/(n+q) + ln(n/K))}
= e^{-q/(n+q)}/(n/K)^q
< e/(n/K)^q, 只要 n 比 -2q 大就好。
所以
Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))]
< Σ_{n=K}^∞ e*K^q/n^{p+q} 當 p+q>1 時，收斂。
然後要確定 p+q≦1 時會發散。
1/(1+q/K)(1+q/(K+1))...(1+q/n)
> {(n-K+1)/[ 1+q/K + 1+q/(K+1) + ... + 1+q/n ]}^(n-K+1)
= 1/[ 1 + q/(n-K+1)*( 1/K + 1/(K+1) + ... + 1/n ) ]^(n-K+1)
> 1/[ 1 + q/(n-K+1)*( 1/K + ln(n/K) ) ]^(n-K+1)
> e^{-q/K}/(n/K)^q
Σ_{n=K}^∞ [n!/(K-1)!/(n^p * Π_{k=K}^n (q+k))]
> Σ_{n=K}^∞ e^{-q/K}*K^q/n^{p+q} 當 p+q≦1 時，發散。
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※ 編輯: Vulpix (1.160.8.140 臺灣), 12/23/2019 02:57:27