[分析] 有關sin(nx) partial sum的問題

[std92050 (比較宅的韓國瑜)]

            m
我在想證明 Σ sin(nx) 是bounded的  我是先換成exp(inx)用等比(公比≠1 x≠2kπ)
           n=1

再取虛部換回來  算出來是  sin(x)-sin((m+1)x)+sin(mx)
                         ____________________________
                                2-2cos(x)

看起來會x接近 2kπ的時候會炸  用羅必達的話會是0 但放到desmos上面看 m不是整數時

在2kπ仍然會炸掉 但m是整數時又是正常 bounded的 雖然跟我原先想證的無關

但看起來跟我用羅必達得到的結果不一樣 感覺很奇怪

總結一下我想問的事

1. 把partial sum 算出來之後 看起來分子是bounded的 分母bounded above

也用羅必達check分母趨近0時不會炸掉了 要怎麼進一步證明他是bounded的

甚至推出 │ m        │      │  1     │
         │Σ sin(nx)│ <  = │________│
         │n=1       │      │sin(x/2)│

2.m不是整數的時候 為啥函數會出狀況 而且跟羅必達得到的結論相反
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推 AnnaOuO     : 你在做這個的時候前提是m是整數 不然就不能那樣+
https://imgur.com/Vf2VvN5.jpg
https://i.imgur.com/YBPULVF.jpg
我是只對算出來的結果討論 用羅必達和畫圖比較 這時候就不特別限制m是整數了
推 znmkhxrw    : 1. 其實用尤拉公式整理出來還不是最簡結果, 直接用
→ znmkhxrw    : 三角函數公式乘上sin(x/2)可以直接滾出partial sum=
→ znmkhxrw    : (cos(x/2)-cos((n+0.5)x))/(2sin(x/2))
→ znmkhxrw    : 就得到你要的第一點結論
推 znmkhxrw    : 2. 我不知道desmos對於非整數的級數做什麼事
※ 編輯: std92050 (36.228.233.205 臺灣), 12/29/2019 13:14:10
推 wohtp       : m不是整數的時候分子就不是零啦，怎麼可以用羅必達
阿 原來如此 突破盲點了 感謝
※ 編輯: std92050 (36.228.233.205 臺灣), 12/29/2019 15:54:43