[分析] f有緊緻支撐<=>無窮級數為0

[znmkhxrw (QQ)]

標題很難問清楚@@ 總之我想證明以下性質(不確定正確與否)
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令f:R→C為函數, R為實數集合, C為複數集合, r > 0

且f滿足 f(-x) = f(x)^bar , for all x€R (bar是取共軛複數) ---(●)

則    f(x) = 0 for all |x| >= r

             n
  <=> lim   Σ  f(x+kR) = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2
     n→∞ k=-n

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目前知道(=>)這個方向自然成立, f不用另外假設什麼甚至連f(-x) = f(x)^bar都不用

而(<=)這個方向配合條件(●)可以得到:

             n
      lim   Σ  Re{f(x+kR)} = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2
     n→∞ k=-n

             n
      lim   Σ  Im{f(x+kR)} = 0 for all x,R satisfying r <= |x| <= R/2
     n→∞ k=-n


但我額外想知道 (1) 可對f額外加什麼條件可以讓(<=)成立 (比如連續)

               (2) (<=)這個方向的反例

謝謝~~

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這個題目源自於對取樣定理的發想

若一個實函數x(t)的傅立葉轉換X(f)有緊緻支撐, say X(f) = 0 for all |f|>=r

則你只要對x(t)的取樣頻率R >= 2r, say x_n := x(n/R)

則x_n的DTFT(離散時間傅立葉轉換), say X_R(f),

就一定會滿足 X_R(f) = 0 for all r<=|x|<=R/2


因此我才有興趣知道反方向, 如果存在一個 r>0 使得

X_R(f) = 0 for all x, R satisfying r<=|x|<=R/2

那能不能就能證出X(f) = 0 for all |x|>=r

以訊號處理的語言來說 即想知道如果存在一個r>0 使得對x(t)的取樣頻率R >= 2r

所做的DTFT, say X_R(f), 都會有 X_R(f) = 0 for all r<=|x|<=R/2

那能不能說X(f)就只會在[-r,r]有值


因此寫成數學問題濃縮起來 就是我PO的問題~

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