[分析] (實變)連續隨機變數定義

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下連續隨機變數的定義, 目前我看到兩種版本
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<Def1>

我們說一個隨機變數是 離散:= 其值域可數
                     連續:= 其值域不可數

<Def2>

Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative
distribution function is continuous everywhere

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但我遇到的問題是, 如果採用<Def1>並給一個連續隨機變數, 我並沒有辦法證明其累積

分布函數是處處連續的


而雖然採用<Def2>的話, 我們很容易證明一個連續隨機變數的值域會是不可數

但這樣的話在<Def2>如果要定義離散隨機變數, 不就是要定義成累積分布函數非處處連續


總結來說, 給一個隨機變數, 其(1) 離散與連續的定義
                            (2) 值域可數與否
                            (3) 累積分布函數連續與否

以上這三個的關係是??

謝謝回答~

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推 annboy      : DEF1是廣義，DEF2是狹義。CDF必定是右連續
→ annboy      : 用DEF1定義連續隨機變數，應該可以造出CDF不是
→ annboy      : 左連續的
→ znmkhxrw    : 對阿 就是很容易造 所以才對第二個定義有意見
→ znmkhxrw    : 所以統計上的定義兩種都有人採用就是了??
→ annboy      : 可是DEF2只要求almost everywhere，可能我想錯了
→ annboy      : 所以要找一個CDF，其左連續的點的集合不可數
→ annboy      : 統計上應該都用PDF能描述的，那就比DEF2還強得多
→ annboy      : 少打好多字 "其不左連續的點不可數且測度非0"
→ annboy      : 這樣感覺就不容易造了 甚至可能是若且唯若
→ znmkhxrw    : 我def2是看wiki的, 他是寫處處, 不過如果a.e.或許就
→ znmkhxrw    : 有機會跟def1等價 我再試試看^^
→ annboy      : 我看錯了，我也不知道怎麼看成a.e.
→ annboy      : 不過沒想到能引起一些新的看法
→ znmkhxrw    : 另外我文中說def2推到def1很簡單 好像怪怪的
→ znmkhxrw    : 我當時是把無窮可數想成都是孤立點 沒考慮到有理數
→ znmkhxrw    : 這種特殊情況 所以現在def1,2雙向都有問題QQ
→ Wzx66666    : CDF沒有處處連續也有可能是某些範圍離散某些範圍連
→ Wzx66666    : 續
推 annboy      : 如果隨機變數range是有理數，CDF不會處處連續
→ annboy      : 我回一篇文寫一些證明
→ yhliu       : Def1 把混合型也當成連續型了!
→ yhliu       : 分布函數是單調函數, 其不連續點至多是可數無限,
→ yhliu       : 也就是 a.e.連績. 所以稱連續型隨機變數, 當然是指
→ yhliu       : 分布函數處處連續. 而雜散型分布以分布函數來區分的
→ yhliu       : 話, 是指其跳躍點囊括了所有機率值, 也就是隨機變數
→ yhliu       : 的有效值域只包含可數個點. 但隨機變數或其分布函數
→ yhliu       : 還有混合型. 也就是一個分布函數可以按示為
→ yhliu       : F(x) = a Fc(x) + (1-a) Fd(x), Fc 是連續型, Fd 是
→ yhliu       : 離散型. 其中, Fc 甚至可再針分解為絕對連續和奇異
→ yhliu       : 連續. 絕對連續的分布函數可以用 p.d.f.表示, 奇異
→ yhliu       : 連續則不行, 它對 Lebesque測度的導數是 a.e. 0.