Re: [分析] (實變)連續隨機變數定義

[annboy (BlueGun)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下連續隨機變數的定義, 目前我看到兩種版本
: -----------------------------------------------------------
: <Def1>
: 我們說一個隨機變數是 離散:= 其值域可數
:                      連續:= 其值域不可數
: <Def2>
: Formally, a continuous random variable is a random variable whose cumulative
: distribution function is continuous everywhere
: -------------------------------------------------------------

為了避免混淆，先定義一些符號:

(Ω,B,P) : probability space

Q : the set of all rational numbers

X:Ω→Q : a random variable

F:Q→[0,1] : CDF of X

為了強調F是定義在Q上，所以argument 都用q, p 等等來表示，而不是x, y



證明脈絡大概是:

(a) There exists q∈Q such that 0 < P{X = q} ≦ 1.

(b) For such q in (a), F is not left continuous at q.


Proof of (a):

If p1 ≠ p2, {ω∈Ω: X = p1 } and {ω∈Ω: X = p2 } are disjoint. Thus,

F(q) = P{X ≦ q} =     Σ    P{X = p}
                   p∈Q,p≦q

by the probability axiom.

(註:這一點區分了可數與不可數，不可數的話不能寫成這種形式的summation)

If P{X = p} = 0 for all p∈Q, then P(Ω) =  Σ  P{X = p} = 0,
                                           p∈Q

which contradicts to the probability axiom, P(Ω) = 1.

Therefore, there exists p∈Q such that 0 < P{X = q} ≦ 1.           □



Proof of (b):

Following from (a), We define α = P{X = q}.

Choose ε, 0 < ε < α, then for all δ > 0,

there exists p∈Q, 0 < q - p < δ such that

F(q) - F(p)

= P{X ≦ q} - P{X ≦ p}

= P{p < X ≦ q}

≧ α

 > ε.

It follows that F is not left continuous at q.                         □




Conclusion:

總結來說，只要X的range是實數的可數子集，就可以找到一個q使得

α = P{X = q} > 0。 (a)對所有可數子集都成立。

上述的可數子集如果是有理數集，對於該點q，只要選定任意的ε, 0 < ε < α，

這樣的ε都找不到與之對應的δ > 0，因為總是可以找到一個和q很靠近，

但是滿足 0 < q - p < δ 的有理數p，使得 F(q) - F(p) 至少是 α。

對於其他可數子集，應該都有類似於(b)的證明法。



回到原本的主題，如果上述結論無誤的話，

在Def1如果是離散，就不會滿足Def2的連續。

反過來說，滿足Def2就一定是Def1的連續。


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※ 編輯: annboy (140.116.92.98 臺灣), 01/19/2020 15:11:02
推 znmkhxrw    : a大你這個結論對於"F:R→[0,1]"還會成立嗎??
→ znmkhxrw    : 我原文的意思是 X:Ω→R with range(X) = Q
→ znmkhxrw    : F:R→[0,1]
→ znmkhxrw    : 不知道這樣的F是否一定會存在不連續點
→ annboy      : 這樣的話，可以得到 P{ω∈Ω: X(ω)∈Q} = 1
→ annboy      : 然後重複(a)(b)同樣的證明，可以得到同樣結果
忘了用編輯= =

給定ε, 0 < ε < α,同樣對於任意 δ > 0，還是找得到例外的p。
※ 編輯: annboy (1.173.179.20 臺灣), 01/20/2020 01:03:03
推 znmkhxrw    : 好的~我在試試看 感恩~
→ znmkhxrw    : 因為我是參考Zygmund的Ch10抽象測度, "實"變幾乎都
→ znmkhxrw    : 限定實數才有完備性, 所以我才特別問一下為什麼是Q
→ znmkhxrw    : 以及重申我所謂的Q單純是range, X的對應域與F的定義
→ znmkhxrw    : 域還是會想限制在R
關鍵是有一行我是默認了Q在R中dense，也就是 q - δ和 q 中間必定存在有理數 p

所以也算是我默認了完備性。比較神奇的是如果F只定義在Q上，

那 F(q - δ)是沒有定義的，但這個 p 依然會存在，因為

{p∈Q: q - δ< p < q} 依然是非空的。所以無論F定義在R或Q上，(b)一樣成立

加入了無理數後就跟下一篇Y大講的一樣，

F在所有滿足 P{X = p} > 0 的點 p 都不連續，理由就同(b)。



我自己是卡在:如果F只定義在Q上，那continuity是不是還有意義。

如果說已經默認定義了R，只是把F:Q→[0,1]視為G:R→[0,1] 的restriction

用ε-δ的定義試過後，應該是沒有問題。
※ 編輯: annboy (1.173.179.20 臺灣), 01/20/2020 01:45:11
→ yhliu       : 首先, 我沒聽過看過把分九布函數定義在 Q 上的.
→ yhliu       : 其次, 對一個定義在Q上的函數, 談連續性當然也是可
→ yhliu       : 以的. 即使沿用R上的ε-δ論述, δ只要取有理數,
→ yhliu       : q-δ 遠是在Q中.
我打這篇文時是想說只要X的codomain是一個measurable space就行了，

試了一下發現沒啥問題，就這樣寫了。

不過看來我證明中默認的Q裡的topology也是類似R的方式，似乎不如就定義在R比較妥當

δ取實數或只取有理數應該都對
※ 編輯: annboy (1.173.179.20 臺灣), 01/20/2020 13:01:31