Re: [中學] 一題不等式

[LPH66 (信じる力 奇跡起こすこと)]

※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 設數列<a_n>與<b_n>具a_n>0且b_n>0，
: a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n為正整數
: 證明a_50 + b_50 > 20

: 感覺這題會用到算幾，但還是試不太出來，不曉得是不是解題方向錯誤
: 還煩請版友解惑，謝謝。

: → yhliu       : 想不出...數值計算在 a_1=b_1=1 的假設下算得20.16   01/21 13:27
: → yhliu       : 本想從 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n))     01/21 13:30
: → yhliu       : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想辦法,   01/21 13:31
: → yhliu       : 沒成.                                             01/21 13:31
好像可以這樣看:

a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n

                = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n)

                ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2  (這步用了算幾)

                = a_n+b_n+4/(a_n+b_n)

也就是說, 若令 c_n = a_n+b_n, 則有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n

由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 對 n≧2

那麼 c_{n+1} 會在 c_n 取得極小值時取得極小值

(函數 x+4/x 可由算幾知在 x=4/x 即 x=2 時取得極小值, 且它在 x≧2 時為遞增)

又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到

而在這個起始條件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n

也就是這個極小值狀況一路上去都是極小值成立

加上上面已經算得的此時 c_50 ～ 20.16 即可證得原式

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不過這裡還有一個問題在於 c_50 ＞ 20 這條件很緊, 因為 c_49 ～ 19.97

也就是說這還真的得要一路這樣求上來才能確定第 50 項和大於 20

中間應該沒有什麼估計的空間, 感覺筆算無理...

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是說原本我也有想到乘積數列 (即上面所引推文三樓的那條)

還想說乘積只跟前項乘積有關應該有點東西, 可是還是沒法 XD

最後還是回到和項這一串, 然後試了半天才發現這個做法

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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
                      ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1579676795.A.231.html
推 Vulpix      : 我也是這樣想的。20真的太貼了。
推 Vulpix      : 乘積的那個，這樣看怎麼樣：
→ Vulpix      : d_n=a_n*b_n，則 d_{n+1} = d_n + 2 + 1/d_n。
→ Vulpix      : 更改:d_n=√(a_n*b_n)，則 d_{n+1} = d_n + 1/d_n。
→ musicbox810 : 想請問L大20.16是怎麼算出來的 是用c_n + 4/c_n不斷
→ musicbox810 : 疊代出來，還是算出來的?以c_1=2初始值開始
→ musicbox810 : 還是需要跑程式得出來?
→ LPH66       : 一來我引用了前篇推文 yhliu 的結果
→ LPH66       : 二來我自己也有寫了支小程式去算 (19.97 這裡來的)
→ LPH66       : 不過計算過程確實就是不斷疊代沒錯
→ musicbox810 : 感謝L大
→ yhliu       : 結合你的 c_n 疊代不等式和 Vulpix 的 d_n 不等式
→ yhliu       : 導法, 得 c_n >= 2 sqrt(2n), n >= 2.
→ yhliu       : 所以,問題就這樣被你們完美解決,也不需假設a1=b1=1.