→ musicbox810 : 差分方程d_n的解是哪種型? 01/22 16:39
→ musicbox810 : d_n是√(?) 01/22 16:49
→ musicbox810 : 想請V大開示，感謝 01/22 17:54
推 LPH66 : 這裡應該只是用連續型的解 f(x) = √(2x) 來比較吧 01/22 17:55
推 algebraic : 猛 01/22 20:54
推 galois0823 : 數歸推論有錯, 直接平方差加總:\sum_{k=3}^n (d_k^2 01/25 23:43
→ galois0823 : - d_{k-1}^2) = \sum (2+1/d_{k-1}^2) > 2(n-2) => 01/25 23:43
→ galois0823 : d_n^2 > 2n 當 n > 2. 01/25 23:43
這作法也不錯。
不過我想我的MIT應該沒錯才是……
n=2 => d_2 = d_1 + 1/d_1 ≧ 2 by 算幾不等式
If d_k ≧ √(2k) (where k≧2), then
d_{k+1} = d_k + 1/d_k
≧ √(2k) + 1/√(2k) = (2k+1)/√(2k) = (k + k+1)/√(2k)
≧ 2√[k(k+1)]/√(2k) = √(2k+2)
第一個不等號是因為 √(2k) ≧ 2，而 f(x)=x+1/x 在 x>1 時是遞增函數。
第二個不等號是算幾不等式。
※ 編輯: Vulpix (1.163.55.68 臺灣), 01/26/2020 00:07:26
推 galois0823 : 1/d_k <= 1/\sqrt{2k} 01/26 11:36
推 galois0823 : 大概14項後, \sqrt{2n}+1/d_n < \sqrt{2n+2},因為d_ 01/26 11:45
→ galois0823 : n跑的比\sqrt{2n}快 01/26 11:45
→ Vulpix : 可是這跟原不等式無矛盾吧？ 01/26 13:04
推 galois0823 : 沒錯，你的不等式是正確的，只是數歸推導跳了些細節 01/26 13:10
→ galois0823 : ，你的(2k+1)/\sqrt{2k}比結果還要大，應該也可以 01/26 13:10
→ galois0823 : 類推證明～ 01/26 13:10
→ Vulpix : 嗯，我原文只寫了關鍵的不等式，沒去解釋。 01/26 13:26
推 galois0823 : 沒注意你回文提到x+1/x絕對遞增,這樣 a>根號2n就可 01/27 18:45
→ galois0823 : 推得a+1/a>(2n+1)/根號2n, 整個證明完美無誤了! 01/27 18:45
→ yhliu : 幾位真是太厲害了! 話說我得出 a_n b_n 乘積關係式 01/28 04:37
→ yhliu : 後竟沒想到其平方根關係式...不過, 即使想到, 也不 01/28 04:39
→ yhliu : 可能再想到 d_n >= sqrt(2n). 這就是差距啊! 01/28 04:40
→ yhliu : 基於以上諸位的討論, 特別是 Vulpix 對 d_n 的結果, 01/28 05:01
→ yhliu : 原問題倒是簡單了, 也就是 a_n+b_n 與 2d_n 關係... 01/28 05:02
→ yhliu : 若一正數數列有 d_(n+1) = d_n+1/d_n, 則 n>=2 後 01/28 05:04
→ yhliu : d_n >= sqrt(2n). 而原數列可得 01/28 05:05
→ yhliu : a_(n+1)+b_(n+1) = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n 01/28 05:06
→ yhliu : 取另兩數列 A_n, B_n 有 A_(n+1)=A_n+1/A_n, B_n 同 01/28 05:08
→ yhliu : 設 A_1+B_1 = a_1+b_1,則 A_n+B_n = a_n+b_n, all n 01/28 05:10
→ yhliu : 由 A_50+B_50>=20 得 a_50+b_50 >= 20. 01/28 05:11
→ Vulpix : 可是 A_2+B_2≠a_2+b_2。 01/28 16:56