[分析] 實變 Sfg = (Sf)(Sg)

[znmkhxrw (QQ)]

想請問一下怎麼證明下面這件事:

Let (E, Σ, μ) be a measure space, μ(E) < +∞

    f, g: E → Ｒ∪{+-∞} be two measurable functions

    F(x):= μ({f <= x}) , F: Ｒ→Ｒ

    G(x):= μ({g <= x}) , G: Ｒ→Ｒ

    J(x,y):= μ({f <= x}∩{g <= y}), J: Ｒ╳Ｒ→Ｒ

if (1) f, g, f*g are L^1(E)

   (2) for any x, y in Ｒ, J(x,y) = F(x)G(y)

then ∫f*g dμ = (∫f dμ)(∫g dμ) (*是相乘不是捲積)

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簡單說我想要證明兩個隨機變數X,Y如果independent則uncorrelated(等價於期望值可拆)

但是查很多reference要馬假設有density function(額外假設F, G是絕對連續, 且J可微)

要馬就是考慮離散型

完全找不到直接用定義證明的case...

而wiki有一個拆解感覺有機會(雖然他寫成density function形式, 但我把它換回來F)

( https://en.wikipedia.org/wiki/Product_distribution )

但是我卡在 μ({g <= x/f, f>=0}) 這種形式不知道怎麼拆 就沒辦法寫下去了

所以直接寫成measure space的題問來發問

謝謝!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.235.174 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1581007130.A.05D.html
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.235.174 臺灣), 02/07/2020 00:50:40
推 Vulpix      : 我覺得你符號用得有點亂，以致有些東西寫錯了。
→ Vulpix      : 但你要的東西，概念上應該就是 Fubini's Thm. 吧？
V大亂是指下面解釋的地方嗎?
我一開始陳述的那些符號有哪些地方不清楚阿??

用到Fubini的方式就是我下面說的一些證明都假設F, G是絕對連續所以有微分存在, 但是
今天F, G不一定是絕對連續, 所以才問有沒有直證的方式

→ Pieteacher  : young inequality for convolution
請問是用在哪一步呢
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 14:51:19
→ yhliu       : 這結果的證明大概是循下列步驟:
→ yhliu       : (1) 首先考慮 f,g 是 indicator 的情形,
→ yhliu       : (2) 其次考慮 simple functions;\
→ yhliu       : (3) 接著考慮 nonnegative functions;
→ yhliu       : (4) 然後是 integrable functions.
→ yhliu       : (5) 最後可以考慮一般的 f, g.
y大我有看到simple function的證明方式, 但是一般f, g證不過去 原因如下:

我的條件(2)在統計中叫作f,g這兩個隨機變數independent

而今天如果f, g是simple function, 那麼確實很好證明當f, g是independent時定理成立

所以要能對general f, g用以上結果的話, 就必須找到兩串simple functions f_n到f, g
_n到g, 並且f_n與g_n是independent for all n

所以問題就是在如何讓這兩串simple functions在每個n都independent嗎
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:05:04
→ yhliu       : 文中 f*g 應係指相乘, 而非 convolution.
→ yhliu       : Fubini's Thm. 似乎是用在 product measure 而非此
→ yhliu       : 問題?
相乘沒錯 還是V大就是說那邊很怪 我改一下
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:06:27
→ yhliu       : 如果 simple functions 部分已證得,
→ yhliu       : 假設 f, g 非負. 取 simple functions 序列 f_n,g_m
→ yhliu       : f_n↑f, g_m↑g ==> f_n g_m ↑ fg.
→ yhliu       : 記得有一個定理: f_n↑f ==> ∫f_n ↑ ∫f
→ yhliu       : 這就證得 f, g 非負情形.
→ yhliu       : 至於 f, g 可積也容易. f=(f+)-(f-), g=(g+)-(g-)
→ yhliu       : 一般情形則需小心分析, 避免 ∞-∞ 之類情況.
→ yhliu       : μ{f≦x,g≦y}=μ{f≦x}μ{g≦y} for all x, y, 則
欸對阿 y大你這個方式就是我想要的方式.這個操作需要f_n與g_n是independent不是嗎?
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:26:34
→ yhliu       : μ{a<f≦b,c<g≦d} = μ{a<f≦b}μ{c<g≦d} 易證.
→ yhliu       : f_n = Σ{k=1 to n2^n} (k-1)/n I_{(k-1)/n<f≦k/n}
→ yhliu       : f_n↑f, g_m↑g, 則 f_n g_m ↑ f g.
→ yhliu       : 上面我是用 f_n, g_m, 事實上用 f_n, g_n 無妨.
→ yhliu       : 所以 ∫fg = lim∫f_ng_n = lim∫f_n∫g_n
→ yhliu       :         = lim∫f_n lim∫g_n = ∫f ∫g
推 PPguest     : 想請教一下z大,不知道我這樣想對不對
→ PPguest     : 如果想成Lebesgue measure,式子就變成這樣：
→ PPguest     : ∫∫f(x)g(y)dx dy = (∫f(x)dx)(∫g(y)dy)
→ PPguest     : 這樣子的話看V大說Fubini定理似乎就可以理解
→ PPguest     : 我好像搞錯,等號左邊應該是∫f(x)g(x)dx,不太一樣
嗨P大 我試著搬進去沒有發生什麼事XDDD

→ yhliu       : 不是, 是 ∫f(ω)g(ω) dμ.
→ yhliu       : f, g 的值在延伸實數集上, 定義域則不是.
y大我上面有回你了 所以檢查你造出來的f_n, g_n會有independet的性質囉?
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 16:55:45
→ PPguest     : 感謝y大,你說的對.前面我自動想成E在實數裡
推 chemmachine : https://reurl.cc/e5ezjb 我一開始想到的是FUBBINI
→ chemmachine : 根VULPIX大一樣。用獨立把dp(xy)拆成dp(x)dp(y)
→ chemmachine : E(XY)=LEBESGUE XY dP(XY)=E(X)E(Y)
→ chemmachine : 這邊只會討論MESURABLE函數，大定理大該是用的YH大
→ chemmachine : 的流程。
→ chemmachine : 這邊的定理是用範圍，機率論基乎都要可測，不會討論
→ chemmachine : 到不可測的函數，雖然它們數目比可測多很多
→ chemmachine : 不可測函數不會符合機率公設，個人淺見
→ yhliu       : 不可測根本無法討論相關的測度, 更甭談積分.