Re: [分析] 實變 Sfg = (Sf)(Sg)

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下怎麼證明下面這件事:
: Let (E, Σ, μ) be a measure space, μ(E) < +∞
:     f, g: E → Ｒ∪{+-∞} be two measurable functions
:     F(x):= μ({f <= x}) , F: Ｒ→Ｒ
:     G(x):= μ({g <= x}) , G: Ｒ→Ｒ
:     J(x,y):= μ({f <= x}∩{g <= y}), J: Ｒ╳Ｒ→Ｒ
: if (1) f, g, f*g are L^1(E)
:    (2) for any x, y in Ｒ, J(x,y) = F(x)G(y)
: then ∫f*g dμ = (∫f dμ)(∫g dμ) (*是相乘不是捲積)
: ------------------------------------------------------
: 簡單說我想要證明兩個隨機變數X,Y如果independent則uncorrelated(等價於期望值可拆)
: 但是查很多reference要馬假設有density function(額外假設F, G是絕對連續, 且J可微)
: 要馬就是考慮離散型

做個完整的回覆好了.

這裡有個問題: 若不是 μ(E) = 1, 不會有
  μ{f≦x,g≦y} = μ{f≦x}μ{g≦y}
這樣的結果. 這很容易理解, 取 x=y=+∞, 則上述等式成
為 μ(E) = [μ(E)]^2. 對非零測度, 只有 μ(E)=1, 也
就是 μ 為機率測度才可能.

對一般有限測度, 當然可以把上述條件修正一下, 相應地
積分等式也要修正. 不過, 修正的結果事實上會相當於考
慮一個機率測度 P(A) = μ(A)/μ(E). 所以,我們甘脆直
接考慮機率測度、隨機變數及期望值問題.

[定理] 設 X, Y 是定義在機率空間 (Ω,Σ,P) 的實數值
隨機變數, 並且
(*)  P{X≦x, Y≦y} = P{X≦x}P{Y≦y} for all x, y
若 X, Y 及 XY 的期望值均存在, 則 E[XY] = E[X]E[Y].

[證明]
(1)
首先考慮  X=I_A, Y=I_B, 則 XY = I_(A∩B).
由 indicator function 的定義,
    {ω: X(ω}≦x} = A' (A 的補集)  if x<1;
                   = Ω   if x≧1.
而條件式 (*) 相當於 P{A'∩B') = P(A')P(B'). 它又等
價於 P(A∩B) = P(A)P(B). (為方便, 此後依習慣省略∩)

而 E[XY] = P(AB) = P(A)P(B) = E[X]E[Y].

(2)
假設 X = Σ{i=t to m} x_i I_(A_i),
     Y = Σ{j=1 to n} y_j I_(B_j).
不失一般性可假設 x_1<x_2<...<x_m, y_1<...<y_n.
可證得 (*) 等價於 P(A_i B_j) = P(A_i)P(B_j), all i,j.
而
    E[XY] = E[ΣΣx_i y_j I_(A_i B_j)]
          = ΣΣ x_i y_j P(A_i B_j)
          = ΣΣ x_i y_j P(A_i)P(B_j)
          = Σx_i P(A_i) Σy_jP(B_j)
          = E[X]E[Y]

(3)
假設 X, Y  都是非負的. 定義兩簡單函數序列 X_n, Y_n.
    X_n = Σ{k=0 to n 2^n} (k/2^n)I_{k/2^n<X≦(k+1)/2^n}
    Y_m = Σ{h=0 to m 2^m} (h/2^m)I_{h/2^m<Y≦(h+1)/2^m}

條件 (*) 等價於
   P{a<X≦b, c<Y≦d} = P{a<X≦b}P{c<Y≦d}
                            for all a<b, c<d
所以
  E[X_n Y_n]
    = E[ΣΣ(i/2^n)(j/2^n)I_{i/2^n<X≦(i+1)/2^n,j/2^n<Y≦(j+1)/2^n}]
    = ΣΣ(i/2^n)(j/2^n)P{i/2^n<X≦(i+1)/2^n,j/2^n<Y≦(j+1)/2^n}
    = ΣΣ(i/2^n)(j/2^n)P{i/2^n<X≦(i+1)/2^n}P{j/2^n<Y≦(j+1)/2^n}
    = E[X_n]E[Y_n]
由於 X_n↑X, Y_n↑Y, 故 X_n Y_n ↑ X Y.

有一積分定理: 若 f_n↑f, 且 ∫f_n, ∫f 皆存在(有限),
則 ∫f_n ↑ ∫f.

故
    E[XY] = lim E[X_n Y_n]
          = lim E[X_n]E[Y_n] = E[X]E[Y]

(4)
假設 X, Y, XY 皆可積.
把 X, Y 分解為正負部相減:
    X = X^+ - X^-,  Y = Y^+ - Y^-
XY = (X^+ -X^-)(Y^+ - Y^-)
   = (X^+ Y^+ + X^- Y^-) - (X^+ Y^- + X^- Y^+)

XY 可積 <==> (XY)^+ 與 (XY)^_ 皆可積.

但 (XY)^+ = (X^+ Y^+)+(X^- Y^-),
   (XY)^- = (X^+ Y^-)+(X^- Y^+)
故 X^+ Y^+, X^+ Y^-, X^- Y^+, X^- Y^- 皆可積.

又, (*) 可推得: 類似等式當 X, Y 分別以 X^+ 或 X^-,
Y^+  或 Y^- 代替時亦成立. 故
    E[XY] = E[(X^+ - X^-)(Y^+ - Y^-)]
          = E[X+ Y^+ - X^+ Y^- - X^- Y^+ + X^- Y^-]
          = E[X+]E[Y^+] - E[X^+]E[Y^-]
                      - E[X^-]E[Y^+] + E[X^-]E[Y^-]
          = (E[X^+]-E[X^-])(E[Y^+]-E[Y^-])
          = E[X]E[Y]

(5)
存留問題:
若無可積條件, 是否仍有 ∫XY dP = ∫X dP ∫Y dP?

當 X, Y 皆可積, XY 不可積時, 等式顯然不成立, 即使
X, Y 均非負時亦然. 但若 X 或 Y 不可積呢?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.70.193 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1581073625.A.876.html
※ 編輯: yhliu (114.46.70.193 臺灣), 02/07/2020 19:26:18
→ znmkhxrw    : 謝謝y大 晚上我跑一次 感恩^^
推 znmkhxrw    : y大你的"可積"VS"存在"是不是相反了??
→ znmkhxrw    : 我在Zygmund實變看的是"存在"是f^+ or f^-積分有限
→ znmkhxrw    : "可積"是兩者積分都finite
推 PPguest     : 感謝y大,受教了
→ yhliu       : 我的 "可積" 和 "存在" 是同義詞. 若積分值/期望值
→ yhliu       : 為 +∞ 或 -∞, 則稱為 "有定義"(defined).
→ yhliu       : 這是我學習時接受的詞彙, 所以一直都這麼用.
→ yhliu       : 若 f = f^+ - f^-, 而 ∫f^+, ∫f^- 皆無限, 則 ∫f
→ yhliu       : 不可定義. 故有定義的情況是正部 f^+ 或負部 f^- 至
→ yhliu       : 少一個可積; 而 f 可積是指 ∫f^+ 與 ∫f^- 皆有限.
→ yhliu       : 注意在 X, Y 非負情況, XY 可積的條件是必要的. 只
→ yhliu       : 因問題中已預設, 所以我沒再明寫. 關鍵是
→ yhliu       : f_n↑f ==> ∫f_n↑∫f 的條件是所有 f_n, f 皆可積
※ 編輯: yhliu (1.165.113.41 臺灣), 02/09/2020 12:50:36