[分析] 條件機率唯一性

[znmkhxrw (QQ)]

想針對條件機率的唯一性做證明或是找範例, 如下圖所示, 手機不好打數學符號sor

https://i.imgur.com/I8G6QsE.jpg

這裡稍微解釋一下為什麼有這個問題, 符號都是跟上圖一致:

1. P(A|B), 就是圖片的Q, 的直觀定義是"當event B發生時, event A發生的機率是多少"

但是這句英文沒有數學定義式, 除非去定義何謂"event發生"

2. 在wiki的條件機率定義中, 有一派直接把Q當成條件機率的定義

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Conditional_probability

3. 在proofwiki他給正式定義一樣是"當event B發生時, event A發生的機率是多少", 然
後"證明"這個值等於Q

但是問題一樣在於沒有"event發生"的定義, 所以他證明充滿文字敘述, 我也覺得怪怪的

4. 之後在proofwiki的頁面說Q也會在原本的measurable space是一個probobility measu
re, 這就讓我想到說, 如果具有Q(B)=1的Q是唯一的話, 那就可以很合理的定義出條件機
率是唯一了(即圖片的<Question>)

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我自己是對於"當event B發生時, event A發生的機率是多少"定義成Q那樣不太直觀, 但
是如果大多數人都接受只是個人接受度問題的話, 那這篇問題就只是直接問圖片的<Quest
ion>是否正確以及若否的反例

謝謝幫忙~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.137.167.137 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1581323104.A.44F.html
推 Vulpix      : Question？當然是錯的。你可以在同一個B上面賦予
→ Vulpix      : 很隨便的probability measure。
→ Vulpix      : 至於定義成Q直觀不直觀。至少拿樣本點有限的機率空
→ Vulpix      : 間來看的時候，應該不算走太多彎路。
→ Vulpix      : 你的問題必須要多考慮B和Σ之間的相容性，或者說
→ Vulpix      : B上的機率要「繼承」Σ上的機率。
→ Vulpix      : 一般來說，我覺得Q(X)/Q(Y)=P(X)/P(Y)應該夠直觀。
嗨V大, 在Omega是finite set時(古典機率)確實那個定義很直觀我可以接受

至於會問那個Question是因為wiki最後有多加幾個條件然後去證明Q必然是條件機率的形
式, 而其中一個條件就是你說的要跟原本的P拉關係, 所以我才在想不拉會怎樣

而又因為proofwiki直接把"當event B發生時, event A發生的機率是多少"當成是formal
definition, 所以我才想說如果那個Question是對的話, 代表唯一, 所以formal definti
on定義成新的measure Q就很合理

剛剛真的隨便就造反例, 跟P拉條件很必要 謝謝
※ 編輯: znmkhxrw (114.137.167.137 臺灣), 02/10/2020 17:04:47
→ yhliu       : 看了你的文, 去查了WIKI, 發現WIKI關於條件機率寫得
→ yhliu       : 很奇怪! (1) 互斥性: 第一次看到以P(AB)=0為A與B互
→ yhliu       : 斥之定義的;(2)"形式定義", 根本不是什麼形式定義,
→ yhliu       : 只不過是涉及一個隨機變數而已. 不涉及隨機變數亦可
→ yhliu       : 直接衍生出一個條件機率空間, 也就是 "其他" 的Q測
→ yhliu       : 度所在的空間, 或縮減樣空為B;(3)"形式定義" 中,
→ yhliu       : P_X(A)≧0 似應為 P_X(A)>0, 這也才符合 "A不是零測
→ yhliu       : 集" 的說法, 並使後面條件分布的定義有意義.
→ yhliu       : (4) 所謂 P(A|B) 大致等於 P(B|A) 的謬論不知怎麼來
→ yhliu       : 的, 一個是A的機率, 一個是B的機率, 就算真有"數盲"
→ yhliu       : 會有這種荒謬的誤會, 也談不上 "謬論" 的程度.
→ yhliu       : 回到原問題, Vulpix 說的曷對的, 你的 Q' 除了
→ yhliu       : Q'(B)=1=Q(B) 以外沒有任何條件, 當然不可能 Q'=Q
→ yhliu       : 條件機率或者直接定義P(A|B)=P(AB)/P(B), 或者以
→ yhliu       : P(AB)=P(B)P(A|B)定義, 或者要求
→ yhliu       : P(E|B)/P{F|B)=P(E)/P(F) for all E,F in Σ
→ yhliu       : de Finetti 的條件機率空間定義曷不經一個無條件機
→ yhliu       : 率空間空接以條件機率為主, 我不記得細節了, 印象中
→ yhliu       : 好像也是用1乘法律 P(AB)=P(B)P(A|B) 來界定具體的
→ yhliu       : 條件機率設定, 或說是連繫了條件機率和無條件機率.
→ yhliu       : 真正會涉及唯一性問題的其實不是這種given an event
→ yhliu       : 的條件機率問題, 而是 given a σ-field 的條件機率
→ yhliu       : 修正一下:條件機率的條件應是:
→ yhliu       : P(E|B)/P{F|B)=P(E)/P(F) for all E,F 為 B之子事件
→ yhliu       : 或 P(E|B)/P{F|B)=P(EB)/P(FB) for all E,F in Σ
y大你意思是說照你最後兩列推文任何一列條件都能導出條件機率測度的唯一性, 就是等
於常看到的P(A|B)?
※ 編輯: znmkhxrw (42.73.42.87 臺灣), 02/11/2020 01:58:24
→ yhliu       : 顯然那兩列條件是等價的. 若再加上 P(B|B)=1 條件1,
→ yhliu       : P(E|B) = P(E|B)/P(B|B) = P(EB)/P(B).
→ yhliu       : 說那兩條件等價, 是還加上 P(E|B)=P(EB|B) 的約定.
→ znmkhxrw    : 了解~感恩~^^