[分析] 面積基本公式能不經由有理數概念證明嗎?

[canilogin (天氣預報)]

     因為不是數學系專門的研究者，想問這個基本的問題：

     印象中面積的基本公式，比如長方形面積等於長乘寬的公式，
     是先用有理數的概念，以邊長為單位長度一的正方形的面積為一的基礎去推導，
     證明了長度為有理數的狀況，再以窮舉法補證長度為無理數的狀況。

     想請問是否一定得先經由有理數的概念來證明？
     有沒有不經由有理數概念的證明出現過？
     或是有沒有相關研究，去探討過這樣的證明是否可能？

     請各位高手給個科普的解答，感謝！

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→ Ricestone   : 不經過的話有什麼好處？
→ canilogin   : 是在念微積分與分析相關的理論，產生這樣的想法，相
→ canilogin   : 反的，是意識到經由有理數概念的證法好處多多，但卻
→ canilogin   : 有疑問這是否僅是"好處"而已？會不會根本是必須的？
→ canilogin   : 但又不是數學系專門的專家，故來板上請教大家的意見
→ canilogin   : 謝謝您的回答...
→ Ricestone   : 要說是必須的話，當然是必須，因為除非你一開始就不
→ Ricestone   : 是用數系擴增的方式建構數字，不然都是從自然數開始
→ Ricestone   : 所以如果後來真有方法硬是繞掉有理數，也只是表象
→ Ricestone   : 而如果一開始就不是用自然數開始建構，那樣的理論系
→ Ricestone   : 統就不一定會跟我們想要有的幾何性質能有所掛鉤了
→ canilogin   : 謝謝高手回答，其實這個疑問就是在想到有理數系經由
→ canilogin   : 歐氏幾何的畢氏定理推導，發現不能滿足數線完備性，
→ canilogin   : 故而想到那在非歐幾何是否仍舊會推導出矛盾結果，但
→ canilogin   : 這種問題超出我這種非專業人士的程度太多，所以提出
→ canilogin   : 基本的面積問題解解饞，謝謝您的解答！