[代數] 證明空集合是任意集合的子集合

[LandLawrence (Lawrence)]

感謝這麽多熱烈回應，為了減省討論所需的字數，增加一些定義跟編號方便討論！

A為B的子集合定義:
A所有的元素全都是B的元素，稱為1-1

A不是B的子集合則為：
A的元素不全都是B的元素，稱為1-2

A中存在至少一個元素不為B之元素，為0-2

坊間常看到若要證明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出發點是驗證空集合｛｝裡的所
有元素x都是集合S的元素

If x屬於{}, then x屬於S，稱為1-1

然而因為前提x屬於｛｝為假，所以這整個推論為真。

但是我認為同樣

If x屬於{}, then x不屬於S，稱為2-1

這個邏輯推論亦可為真。請問數學及邏輯高手的大大們，是我有誤解了什麼嗎？空集合怎
麼可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？

補充：
存在元素x，x是空集合｛｝的元素且不是S的元素，稱為2-2


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.73.37.203 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1582367501.A.564.html
推 annboy      : 我有個看法，雖然你寫的兩句都是vacuously true
推 transk      : 你的推論是對的，然而你的推論並不是
→ transk      : 「不是子集合」的滿足條件。
→ transk      : 「空集合不是S的子集合」需要檢查的是
→ transk      : 「空集合裡"存在"某一元素不屬於S」，
→ transk      : 但是空集合裡沒有存在這樣的元素，
→ transk      : 故空集合不滿足「不是S的子集合」
transik 但是我覺得按照同樣的標準，空集合裡也不存在有在S內的元素，這樣是不是也
不滿足是S子集合的條件。因為我覺得要為S的子集合的條件是，一集合所有的元素都是S
的元素。

→ transk      : 抱歉annboy我好像斷到你囧
→ annboy      : 但第二句的contrapositive是FLASE，所以只認第一句
→ annboy      : 沒關係OUO
→ annboy      : 更正一下是FALSE才對 Orz
annboy 不好意思我不太懂contrapositive，可以說一下怎麼操作嗎～
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:34:14
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:34:58
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:39:19
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 20:08:12
→ annboy      : P->Q的contrapositive 是 !Q->!P , google關鍵字就
→ annboy      : 有
意思是若非Q則非P嗎？如果是，那麼我整理一下。
原文章中，第二個命題的contrapositive 為：

If x屬於S, then x不屬於{}

這不是true嗎？為什麼是false
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 20:37:20
→ annboy      : 你說得對，我搞錯了，我想想其他方向
謝謝大大，我想好久了想不透這個證明啊～～
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 23:00:43
→ Ricestone   : 你要連著述詞講，第二個敘述不是用Vacuously True
→ Ricestone   : 一開始的定義是∀x(x∈A→x∈B)
→ Ricestone   : 而你想表達的第二種是∃x(x∈A and x!∈B)
→ Ricestone   : 這時第二種不是Vacuouly True，而是它的否定
→ Ricestone   : 也就是恆為F
Ricestone 我好像懂你的意思。我整理一下，原文第二種表達的意思會是

所有在｛｝中的元素，都不屬於S。這句是true，我稱作2-1。

你給的陳述是

存在元素x，x是｛｝的元素且不是S的元素
。這是false，我稱作2-2。

2-2很像非子集合的定義，因為是false，所以不存在元素x是屬於｛｝且不是S的子集合。

但是2-1的推論依然為真，這還是令人很困惑。

甚至我覺得從定義出發，若A為B的子集合，則A所有的元素都是B的元素來看，A非為B之子
集合定義應是並非所有A之元素皆為B之元素，若進而說A至少有一個不為B之元素(0-2)是
有點問題的。因為非子集合定義並沒有明確排除若A不含任何元素是否合並非所有元素皆
為B之元素的範疇。所以我覺得在證明出來空集合是任意集合的子集合前，使用(0-2)不太
妥當。

→ annboy      : https://reurl.cc/Rda9Mz
→ annboy      : 這篇是我目前找到最相關的了 可以參考看看
annboy 這篇好像有講到我的困惑，我邏輯符號運算這兩天才讀，不太流利。待我消化一
下
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 00:44:02
→ Ricestone   : 你的問題就是 "不是子集合"的定義錯了
→ Ricestone   : 我寫的第二種才是"不是子集合"的定義，實際上就是
→ Ricestone   : 第一句話的否命題
→ Ricestone   : 講錯了，這不叫否命題，是第一句的否定而已
→ Ricestone   : 你內文講的兩種事情當然都對，但是否子集合不是只看
→ Ricestone   : 你內文這兩句   重點就是你這樣寫沒有量詞
→ Ricestone   : 你要先知道限定範圍之全稱敘述的否定該怎麼變
→ Ricestone   : 我用你的記號，(2-1)我是已經把它寫成容易邏輯推演
→ Ricestone   : 的形式，實際上常見的會是∀x∈A(x∈B)
→ Ricestone   : 而(2-2)常見的敘述就是∃x∈A(~(x∈B))
→ Ricestone   : 你可以看到全稱跟存在這兩種敘述外觀上很像，但其實
→ Ricestone   : 拆開來的樣子是不一樣的，一個是if then，一個是and
→ Ricestone   : 啊我看錯了，我說的(2-1)指的是我給的"子集合"定義
→ Ricestone   : 總之你的2-1無法判斷是否子集合，也就是transk講的   02/23 02:52
Ricestone 是，我們歧異就在非子集合的定義上。因為我認為當引入空集合的定義後，還
應該定義非子集合為：A至少存在一個元素不為B之元素嗎？因為空集合對某些人的直覺來
說顯然也不合子集合的定義：所有A之元素皆為B的元素（1-1）所以我才想應該要有一個
更強的證明是不先以0-2來定義空集合。也就是在有空集合存在的情況下，2-2還能是子集
合定義1-1的否定嗎？
另外2-1雖然不能判斷是否為非子集合，但顯然是非子集合的一種情況，所以我覺得還是
與2-1矛盾。
→ ERT312      : 為何2-1為真會令原po困惑? 2-1的意思不就是空集合是
→ ERT312      : S的餘集(U\S)的子集。空集是任何集合的子集 自然也
→ ERT312      : 會是S'的子集
哇哇哇！ERT312高手高手高高手！瞭解！

ERT312 不好意思，我想想又覺得不太對。因為這樣雖然空集合是S'的子集合，但就不是S
的子集了，如此就不是所有集合的子集合

※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 08:15:15
推 LPH66       : 所以果然你還是糾結在「子集合」的定義上
→ LPH66       : 你的「顯然也不合子集合的定義」即是 Vacaous Truth
→ LPH66       : 的概念: 因為前件為假所以整個推論為真
→ LPH66       : 而這個推論為真即是子集合的定義
推 LPH66       : 也就是說, 這條推論是為 Vacaous Truth
→ LPH66       : →空集合符合這個子集合定義→空集合是所有集合子集
→ LPH66       : 你的問題應該就卡在這個推論串的第二點上吧
→ LPH66       : 集合 A 不會既是又不是集合 B 的子集, 所以一旦給了
→ LPH66       : 「是 B 的子集合」的定義, 就能得到「不是 B 的子集
→ LPH66       : 合」的定義, 這不是你能夠分開另給定義的東西
→ Ricestone   : 你的符號除了明講2-1跟2-2的以外什麼是什麼？
→ Ricestone   : 是有括號的前面代表你的定義是嗎？
→ Ricestone   : 講清楚一點，2-1這定義過強（適用範圍小），當然會
→ Ricestone   : 導致兩種說法中間會不同的狀態啊
→ Ricestone   : 不對，我被你弄糊塗了  2-1是講空集合不是講子集
→ Ricestone   : 我現在是看不懂你為何說非子集合不應該那樣定義
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 08:46:18
→ Ricestone   : 不然你可以試著用你的非子集合定義推論子集合定義
Ricestone 我把編號整理在原文中，我也再想一想你所說。我認為不該以0-2定義是因為1
-1的否定是1-2: A的元素不全都是B之元素。假如有規定一個集合一定至少要有一個元素
，那麼我認為0-2是對的。但是有空集合存在，那麼空集合乍看之下似乎也滿足不全都是B
的元素規範。
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 12:12:28
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 12:36:42
→ Ricestone   : 它就同時是S'跟S的子集合  你現在用太多感覺了
→ Ricestone   : 反正那連結裡面最終想講的跟大家講的一樣
→ Ricestone   : 你的子集合定義推導出的非子集合的定義不對
→ Ricestone   : 你這樣大概還會多另一個問題，我先回答
→ Ricestone   : 屬於跟包含於是不一樣的
→ Ricestone   : 1-1的否定不是1-2，是0-2
→ Ricestone   : 你應該要寫成邏輯語言，中文的不放在那邊很尷尬
Ricestone 對，我好像知道盲點在哪裡了。
推 Vulpix      : 「不全都」就是「有的不是」，要「有」啊……
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 14:03:44