Re: [代數] 證明空集合是任意集合的子集合

[annboy (BlueGun)]

※ 引述《LandLawrence (Lawrence)》之銘言：
: 坊間常看到若要證明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出發點是驗證空集合｛｝裡的所
: 有元素x都是集合S的元素
: If x屬於{}, then x屬於S
: 然而因為前提x屬於｛｝為假，所以這整個推論為真。
: 但是我認為同樣
: If x屬於{}, then x不屬於S
: 這個邏輯推論亦可為真。請問數學及邏輯高手的大大們，是我有誤解了什麼嗎？空集合怎
: 麼可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？

https://reurl.cc/Rda9Mz

做些整理，然後用完整的邏輯符號敘述

Φ代表空集合("the" empty set)



敘述一: (每一列都是邏輯等價)

Φ is a subset of every set.

∀S(Φ⊆S)

∀S∀x(x∈Φ→x∈S)



敘述二:

∀S∀x(x∈Φ→﹁(x∈S))

∀S∀x(﹁(x∈Φ)Ｖ﹁(x∈S))



敘述三:(每一列都是邏輯等價)

Φ is not a subset of any set.

∀S﹁(Φ⊆S)

∀S﹁(∀x(x∈Φ→x∈S))

∀S∃x﹁(x∈Φ→x∈S))

∀S∃x﹁(﹁(x∈Φ)Ｖ(x∈S)))

∀S∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S))


說明:

因為

x∈Φ→x∈S

是vacuously true，所以

x∈Φ→﹁(x∈S)

也是vacuously true。故，敘述一是true，敘述二也是true。

但是敘述二不等價於這句話"Φ is not a subset of any set."，

理由請比較敘述二和敘述三。

至於敘述二要怎麼用英文(或其他自然語言)敘述，我沒想出來，可能沒辦法簡單敘述。


另外，敘述三是false理由是因為

∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S))

implies "Φ is not empty"。這樣就矛盾了，因為我們已經假設Φ是空集合。

這部分是參考網址裡的一樓

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.121.87.229 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1582391848.A.7C9.html
※ 編輯: annboy (122.121.87.229 臺灣), 02/23/2020 01:33:43
→ ERT312      : 敘述3 要改 ∃x(x∈Φ&﹁(x∈S)才會是false
→ ERT312      :       要改為
→ ERT312      : ∃x(x∈Φ→﹁(x∈S) 是true喔
推 LPH66       : ﹁(A→B) <=> ﹁(﹁AＶB) <=> (A︿﹁B) 應該要這樣
感謝樓上2位，已修正內文
→ LandLawrence: 在前一篇ERT312有提到敘述二可以解讀為空集合是S'
→ LandLawrence: 的子集合。
推 LandLawrence: 所以敘述一跟敘述二可以合併為：1.空集合是任意集合
→ LandLawrence: 的子集合+2.空集合是任意集合的餘集合的子集合嗎
→ Ricestone   : 1已經包含2了，餘集合也是一個集合  不用特地分開
的確，敘述二似乎可以寫成"Φ is a subset of the complement of every set"。
推 LandLawrence: 是，我想表達的就是敘述一及敘述二這兩個是完全等
→ LandLawrence: 價的推論
※ 編輯: annboy (122.121.86.13 臺灣), 02/23/2020 15:12:18
→ Ricestone   : 它等價的原因是來自前面的∀S，不是直接右邊部份邏
→ Ricestone   : 輯推演的結果，所以也不用特地合併