[中學] 為何機率不同，期望值卻相同？

[gnorimim (卡哇佛森)]

為何1.）取出1、2、3顆紅球機率與2.）和3.）取出1、2、3顆紅球機率不同，但三種取球方式最後所得的紅球個數期望值皆相同？

題目如下：
袋中有3顆紅球，5顆綠球，每球被取的機會均等。X為取得紅球個數，P為機率，E為期望值

1.）取球三次，每次一球，取後放回，求取得紅球個數的期望值。
P(X=0)=75/512
P(X=1)=225/512
P(X=2)=135/512
P(X=3)=27/512
E(X)=[1*（225/512）]+[2*（135/512）]+[3*（27/512）]=576/512=9/8

2.）取球三次，每次一球，取後不放回，求取得紅球個數的期望值。
P(X=0)=5/28
P(X=1)=15/28
P(X=2)=15/56
P(X=3)=1/56
E(X)=[1*（15/28）]+[2*（15/56）]+[3*（1/56）]=63/56=9/8

3.）一次取出三球，求取得紅球個數的期望值。
P(X=0)=5/28
P(X=1)=15/28
P(X=2)=15/56
P(X=3)=1/56
E(X)=[1*（15/28）]+[2*（15/56）]+[3*（1/56）]=63/56=9/8
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→ Ricestone   : 2跟3是同一件事的期望值，而1跟2是剛好而已
→ Ricestone   : 這個剛好指的是取後有沒有放回的期望值一樣
→ Ricestone   : 但是實驗再複雜一點就會有不同了，所以當作剛好就好
→ Ricestone   : 啊如果你就是想問1跟2為什麼算出來會一樣，那就是
所以是說1跟2的機率是真的不一樣？還是跟抽籤原理有關，其實1跟2的機率應該一樣？
→ Ricestone   : 直接用符號寫算式出來而已
※ 編輯: gnorimim (172.114.23.5 美國), 03/07/2020 10:41:33
→ Ricestone   : 機率當然是真的不一樣
→ yhliu       : 1) 和 2) 期望值相同並非巧合.
→ yhliu       : 令 Zi 為第 i 次取球結果, X=Z1+Z2+Z3.
→ yhliu       : 在 1) Z1,Z2,Z3 相互獨立, 在 2), 它們不獨立.
→ yhliu       : E[X] = E[Z1]+E[Z2]+E[Z3], 因兩種情形 Z1,Z2,Z3 的
→ yhliu       : 個別機率是相同的, 所以期望值相同.
→ yhliu       : 都是 P[Zi=1] = 3/8 = 1-P[Zi=0]
→ Ricestone   : 原來如此，那的確可以由抽籤原理解釋了
→ Ricestone   : 不過我的巧合主要還是指這樣一個獨立和不獨立的實驗
→ Ricestone   : 有一個期望值相同的結果，現在看來該說是指抽籤原理
→ Ricestone   : 本身     抽籤原理本身算是有更深的數學意含嗎？
推 chemmachine : https://reurl.cc/NjaOR5
→ chemmachine : 這兒有類似的。期望值不管如何抽都是紅球機率*3,符
→ chemmachine : 合直覺。
→ chemmachine : 推yh大
→ chemmachine : 3/8 *3=9/8
推 yhliu       : 1) 就是所謂 "獨立 Bernoulli 試驗" 的例子;
→ yhliu       : 2) 是有限二項群體抽樣的例子.
→ yhliu       : 1) 的 X 的分布是二項分布, 2) 是超幾何分布.
→ yhliu       : 兩者差在 Zi 的聯合機率分布不同. 計算期望值時只跟
→ yhliu       : 個別 Zi 的分布有關, 計算標準差或變異數則和諸 Zi
→ yhliu       : 兩兩的共變異數或相關係數有關; 至於 X 的分布則和
→ yhliu       : 諸 Zi 完整的聯合機率分布有關.
→ yhliu       : 所以如果只要看其望值, 三種抽樣(抽球)架構得到的
→ yhliu       : E[X] 是一樣的. 2) 和 3) 的差異則在於要不要區別
→ yhliu       : 諸 Zi? X=Z1+Z2+Z3 對諸 Zi 同樣對待, 所以 2), 3)
→ yhliu       : 的 X 有相同機率分布.