[代數] GL(n,z)的order

[mic2754 (都是假的)]

最近在看一些入門的抽象代數,遇到了一些有關general linear group的問題

符號定義

GL(n,z)：由所有存在反矩陣且內部元素都屬於z這個集合的n階方陣所組成的集合（我可能翻的不好，附上原文)

The set of n*n invertible matrices with entries in z

Zk:小於k的非負整數組成的集合
例如:Z4=｛0, 1, 2, 3｝

問題一：
The order of GL(2 , Z7)

我的理解是問內部元素由{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}所組成且存在反矩陣的2*2矩陣個數
答案是給(7*7-1)(7*7-7)
因為第一個行(column)可以是任何向量，但就不能是0向量，第二個行可以是任何向量，但?

這樣一來第一行49種可能扣掉0向量這種可能，第二行也是49種可能，但要扣掉第一行向量的倍數，0到6倍共7種可能，就形成那個式子。

可是第二行去扣掉的那個向量有可能本來就不包含在那49種可能裡面吧？假設第一行向量是[1,2]的transpose好了，那它的4倍[4,8]的transpose本來就不在那49種可能裡面啊？但卻還是照樣扣掉？個人不太能理解這種算法，上網也沒找到關於這方面的解釋。

問題二
GL(n,z)在z是有限集的情況下是一個group？

就我所知，group要具備有封閉性。但是把GL(n,z)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry會超出這個z的範圍吧？那怎麼能還叫作general linear group呢？

問題可能有點基本，但是我算是半自學，沒什麼人能問，希望各位高手幫忙解惑，感謝。

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※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 20:38:16
推 jacky7987   : 8在Z7裡面是1，你的問題應該是這個？
→ mic2754     : 回樓上
→ mic2754     : 那這樣會變[4,1]吧？這樣會是[1,2]的線性組合嗎？還
→ mic2754     : 是說這在這定義裡面是算的呢？
推 chemmachine : 1等價於8在Z_7,所以[4，1]是[1，2]的線性組合
→ chemmachine : 首先你要熟悉同餘式理論(MOD)這邊才會比較懂
→ chemmachine : 問題一 對2*2的Z_7矩陣，第一行有7*7種組合，去掉
→ chemmachine : (0，0)^t這一種，有7^2-1種。接下來用高中計數的乘
→ chemmachine : 法原理。第二行一樣有7*7種情形，但去掉第一行的線
→ chemmachine : 性組合，有{0，1，2，3，4，5，6}共7種倍數，也就
→ chemmachine : 固定第一行為(a，b)，第二行為0*(a，b)、1*(a，b)..
→ chemmachine : 2*(a，b)...6*(a，b)共七種，也就是7^2-7種。由乘法
→ chemmachine : 原理將7^2-1和7^2-7相乘即為所求。你後面的想法想歪
→ chemmachine : 了。
→ chemmachine : 更高維的GL(n,z_p)如法炮製。
→ chemmachine : 問題二ˋ檢查群的五個條件。1非空2矩陣乘法即為群乘
→ chemmachine : 法3.群結合律即為矩陣結合律4.identity即為單位矩陣
→ chemmachine : 6.inverse因為GL(n，z_p)det都不為1，故都有反矩陣
→ chemmachine : 就是群的反元素。以上5項條件滿足群的5條件，故得
→ chemmachine : 證
推 chemmachine : GL(n,z_7)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry超過7之
→ chemmachine : 後，你一直取mod7，不會超過6，只會在{0~6}之間跳來
→ chemmachine : 跳去
推 Vulpix      : 上面說得很清楚了。我另外補充一個：你要先去找Zn
→ Vulpix      : 這種的資料看。如果那本書是入門書，前面應該有類
→ Vulpix      : 似的章節。
→ mic2754     : 感謝chem大，我懂了，癥結點全在於我對Zn的理解不完
→ mic2754     : 全，之前看太快覺得自己懂了就沒把定義弄到非常清楚
→ mic2754     : ，現在看來這問題真的滿蠢的
※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:14:25
→ mic2754     : 回V大，是的前面有，但是我當時就直接掃過去了，想
→ mic2754     : 這題時腦袋一直鬼打牆沒想到mod7，實在慚愧
※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:19:36