Re: [中學] 兩題根號相加

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 1. 化簡
:   sqrt(12-sqrt(24)+sqrt(39)-sqrt(104)) - sqrt(12+sqrt(24)+sqrt(39)+sqrt(104))
:   我的想法：
:   我用了兩個方法，第一個方法是直接平方，再開根號回來後判斷正負，答案是-4
:   但這個方法計算量實在很大，很容易計算錯誤。
:   第二個方法是12+sqrt(24)+sqrt(39)+sqrt(104)=(sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))^2
:   然後去解x、y、z，但我的第二個方法好像有個盲點，
:   就是萬一無法湊成完全平方就無法使用此方法，只是這題碰巧剛好可以弄成完全平方
:   再去化簡。
:   不曉得版友是否有無更恰當又不失嚴謹的方法?
: 2. 已知正整數m，n滿足 sqrt(m-174) + sqrt(m+34)=n, 試求n之最大值
: 以上兩題，麻煩了，謝謝。
兩題都脫胎自三次方程卡當諾方法
令sqrt(12-sqrt(24)+sqrt(39)-sqrt(104))=t
sqrt(12+sqrt(24)+sqrt(39)+sqrt(104))=u
所求=x=t-u
計算  t^2-u^2=-2sqrt(24)-2sqrt(104)
      t*u=4+sqrt(39)
      t^2+u^2=24+2sqrt(39)
x^2=t^2+u^2-2tu=24+2sqrt(39)-8-2sqrt(39)=16
x=+-4取x=-4

第二題令t=sqrt(m-174) u=sqrt(m+34)
compute t+u，t^2-u^2
t^2-u^2=(t-u)(t+u)
知道 n|208
實驗得n=104 u-t=2 m=53^2-34=51^2+174=2775

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推 tzhau       : 感謝C大，但第二題有個小疑問，t^2-u^2=(t-u)(t+u)
→ tzhau       : 有沒有可能t-u是整數 但t+u不是整數 ?
→ chemmachine : 所以要多試幾個解，我已經幫你挑好了，你因數分解就
→ chemmachine : 知道了。
→ chemmachine : 若t-u整，t+u不整，則2u不整是分數，將u=根號m+34代
→ chemmachine : 入平方會導致矛盾
→ chemmachine : 題目是給n是t+u是整數