Re: [分析] 均勻收斂和有界之間的關係

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《sogood6108 (duck)》之銘言：
: 剛在做題遇到一些困難 有點混淆
: 已知Fn收斂到f Gn收斂到g 都是均勻收斂
: 1.g會有界嗎?

let f_n(x)=1/n x屬於(0，1)  g_n(x)=1/x x屬於(0，1)
f_n(x)均勻收斂至f(x)=0 x屬於(0，1) g_n(x)=1/x x屬於(0，1)
故f和g不一定有界
 因為題目要我證明FnGn收斂到fg pointwise
因fn一致收斂到f gn一致收斂到g
故fn逐點收斂到f gn逐點收斂到g
因逐點收斂滿足乘法律故 fn*gn逐點收斂到fg
證明仿照limf(x)->L limg(x)->M 則 limf(x)*g(x)->L*M(初微課本有)

一致收斂不滿足乘法律，因由第一行之反例f_n(1/n)*g_n(1/n)=1/n*n=1不等於
f(x)*g(x)=0
另一則反例在apostol exercise 9.1 9.2 9.3 有，你可以上網找一下
: 但我卡在 不確定g會不會有界 如果有界 我就可以證出來
不一定有界
: 函數列我不太知道要怎麼判斷 她不像一般的數列那麼簡單
: 一般的數列收斂到一個數字 那個數字就是有界
: 但函數列收斂到一個函數 我就不敢直接說有界了..
函數數列逐點去看，是實數數列。比較難的是一致收斂
: 2.已知道Fn均勻收斂到F
: 那F有界 跟Fn有界 彼此會有關係嗎?
fn一致收斂至f 則對任意epsilon>0 存在N>0 SUCH THAT|FN-F|<epsilon
: 假設只給Fn均勻收斂到F 我可以說Fn或是F有界嗎?
fn和f有不有界會互相影響。因 |fn-f|<e 由三角不等式
知 |fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 故若f有界 則對足夠大之n則 fn有界
fn有界對足夠大之n則 f有界
: 3.在pointwise收斂 跟uniformly收斂兩種情況下
: Fn 跟 f 有沒有界會因此影響嗎?
: 函數列的章節比較抽象 問題有點多 QQ 謝謝
一樣用到|fn|<|f|+e 及|f|<|fn|+e 差別是一個是逐點 ，一個是整個範圍去看
所以會互相影響
有錯請指正

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→ chemmachine : https://imgur.com/a/Denb1VK apostol另一反例
→ chemmachine : 這裡fn的有界，還要注意是否是uniformly bounded
→ chemmachine : https://reurl.cc/Wd45OZ 還要參考這個
→ chemmachine : 故第三題如果是一致收斂，加上每個fn有界 才能推得
→ chemmachine : f有界
→ chemmachine : 一般來說，f有界指整個定義域有界，較好推理fn有界
→ chemmachine : 逐點去看每個fn有界不一定得到f有界如1/x在(0，1)
推 sogood6108  : 謝謝 大致上了解關係了 不過我好奇的是 感覺均勻收
→ sogood6108  : 收斂比逐點收斂強 但均勻收斂要推得f有界 卻反而比
→ sogood6108  : 比較難?
→ chemmachine : 是逐點比較難，均勻兩邊可互推。pdf裡都滿詳細的。
→ chemmachine : 逐點fn有界推不到f有界用1/x在(0，1)去想，可以滿
→ chemmachine : 足逐點有界的函數逼近，但最後整體無界。