[微積] 四個變數的積分

[snaredrum (好聽木琴)]

請問有沒有可以算積分的軟體。? 數值解也可

假設有四個變數x,y,z,w

\int_{x^2+y^2+z^2+w^2 <=1} 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2)

請問能求出這個積分的數值解嗎?

就是球　 f= 1 /((x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2+(w-2)^2) 在四維的單位球的體積分



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推 chemmachine : https://reurl.cc/exxlaK 看看mathematica有沒有四
→ chemmachine : 維的指令
→ chemmachine : n維球體積公式是已知的。
推 chemmachine : 把它指令改成四維的看看。
推 chemmachine : https://imgur.com/a/v08HmVq
→ chemmachine : https://imgur.com/a/AslstqK
→ chemmachine : https://imgur.com/a/wUwt1YX
→ chemmachine : https://imgur.com/a/9zV6OD6
→ chemmachine : 約翰科朗用球表面積殼層去積分，設單位球表面積wn
→ chemmachine : wn再用e^-r^2技巧求出，再和gamma做連結
→ snaredrum   : 謝謝回答，球體體積的公式我知道，但現在是不會算這
→ snaredrum   : 積分
推 chemmachine : 最後一頁給出1/2pi^2*r^4
→ chemmachine : 書裡對任意維度球均積分出來
推 chemmachine : 喔喔我看錯了抱歉
推 chemmachine : 將書的方法改一改，書裡f(r)代入1/r^2，得
→ chemmachine : wn*1/(n-2)*r^(n-2)當n=4時w4=2pi^2 所求=pi^2r^2
→ chemmachine : =pi^2
推 chemmachine : 另解，觀察二維極座標x=cosM Y=sinM
→ chemmachine : x=rsinMcosN Y=rsinMsinN Z=rcosM
→ chemmachine : 得四維球座標 X=rsinMsinNcosP Y=rsinMsinNsinP
→ chemmachine : z=rsinMcosN w=rcosM
→ chemmachine : 仿照初維課本三維的球積分做出四維的球積分，答案
→ chemmachine : 應相同
→ snaredrum   : 我問的問題的函數不是 1/r^2阿! 不過 非常感謝你的
→ snaredrum   : 提點
推 chemmachine : 原來是(x，y,z)-(2,2,2),那極座標代入可以得到比較
→ chemmachine : 顯式的解，分母一堆只能用估計的，偏積分也不太好
→ chemmachine : 算。
→ yhliu       : 積分範圍是4維單位球體, 還是做4維球座標變換吧!
推 chemmachine : 你這題是對|x-a|^-2做球體積分，如果是|x-a|^2是轉
→ chemmachine : 動慣量，如果是x-a/|x-a|^3是萬有引力的殼層公式，
→ chemmachine : 問題可簡化為集中在質心。算了一下，一維的球體(棒
→ chemmachine : 子)不是集中在球心，所以此路大概也不通。這題大概
→ chemmachine : 就是很醜的積分吧。
推 chemmachine : |x-a|^2有平行軸定理 x-a/|x-a|^3有萬有引力殼層定
→ chemmachine : 這題|x-a|^-2應該是沒有的