[代數] n個不同大小的數的奇(偶)排列數目

[Lanjaja ()]

想請問板上強者一個排列問題

假如有數列{a_n}，a_1 < a_2 < ... < a_n
a_1a_2...a_n是原始排列P。
現在把這n數打亂亂排成排列Q，
經過Q數列中的相鄰兩數交換多次回到原始排列P，
如果交換次數為奇數者稱Q排列為奇排列。
如果交換次數為偶數者稱Q排列為偶排列。

試證：

所有奇排列的數目為(1/2)n!
所以偶排列的數目為(1/2)n!

我只知道這兩者的總和應該要試所有排列數n!而已，
不知道要怎麼把所有奇、偶排列列出

感謝各位的幫助～

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推 LPH66       : 提示: 證明奇排列和偶排列有一樣多個
推 chemmachine : let f：奇排列-＞偶排列 定義域為所有奇排列。f(sig
→ chemmachine : ma)=alpha*sigma alpha=(12)欲證f is one to one an
→ chemmachine : d onto alpha*sigma1=alpha *sigma2
→ chemmachine : 則sigma1=sigma2 令對任意偶排列，存在(12)*偶排列
→ chemmachine : 為一個奇排列使函數成立。故f為 bijection
推 chemmachine : https://reurl.cc/exxrAW
→ chemmachine : 搜尋 alternating group order ，大學代數課本也有
→ chemmachine : ，基礎的定理
→ Lanjaja     : 謝謝兩位。好難，沒受過正規代數訓練><  請問L大如
→ Lanjaja     : 何證明奇排列數目和偶排列數目相等?這正是我想知道
→ Lanjaja     : 的，拜託，謝謝。c大的意思是奇排列偶排列bijection
→ Lanjaja     : 所以個數一樣?不知道我有沒有誤解
推 chemmachine : 對呀，因為bijection 所以一樣。
推 chemmachine : https://reurl.cc/O119Xr
→ chemmachine : 你可以自己找 奇排列 偶排列，很多說明。
→ Ricestone   : 不過你要注意一下，這些方法跟你題目定義稍微不同
→ Ricestone   : 主要是你題目有說要「相鄰」的互換，所以想套的話要
→ Ricestone   : 先說明沒相鄰也一樣
→ Ricestone   : 如果你想自己想的話，還可以考慮用數學歸納法
→ Ricestone   : 從兩個元素的狀態開始
推 chemmachine : 有一個定理 Every permutation is a product of two
→ chemmachine : cycle. 2-cycle可以換成一串相鄰置換的相乘。所以相
→ chemmachine : 鄰的置換和sn是相同的集合
推 chemmachine : permutation的資料galian的contemporary abstract
→ chemmachine : algebra 第五章有，薄薄13頁看完你就懂permutation
→ chemmachine : 黃子嘉大師的離散好像也有就是了。不過補習班講義
→ chemmachine : 會預設你上過課，原文書會預設你沒上課
→ chemmachine : 其他好書當然也可以
推 chemmachine : permutation的基本定理都滿自然的
推 LPH66       : 單純以"相鄰"定義來看的話也有一個簡單的 bijection
→ LPH66       : 任給一個排列, 它可能是奇可能是偶, 但互換固定位置
→ LPH66       : 的兩個數後會得到它的伙伴, 這兩個必然一奇一偶
→ LPH66       : 固定位置→固定相鄰位置
→ LPH66       : 例如 12345<>12354, 32514<>32541, 54321<>54312
→ LPH66       : 那所有排列都能這樣分組, 奇排列和偶排列就一樣多
→ LPH66       : 這做法不需要先去看某特定排列是奇是偶
→ LPH66       : 因為交換一組相鄰的關係能確定一組兩個必然一奇一偶
→ Lanjaja     : 12345<>12354，可是12534也<>12354會有多對一或一對
→ Lanjaja     : 多的問題，這樣就不是bijection了。
→ Lanjaja     : 另外我不太懂為什麼c大要引入(12)，看不懂...
推 chemmachine : 列出所有的奇置換，每個乘以(12)會得到偶置換
→ chemmachine : (12)的意思是將第一個位置和第二個位置對調
→ chemmachine : 且每個這些偶置換兩兩不同，否則，將它們乘以(12)
→ chemmachine : 會相同，矛盾。 (21)是(12)的反置換
→ chemmachine : 你這應該是離散或代數的題目吧。
→ Lanjaja     : 我再想一下..謝謝。我是看商業數學，類似科普
→ Lanjaja     : 在講到行列式引進逆序數時一句話帶過，想不通上來問
推 chemmachine : 喔喔。代數風華絕代，精妙的很，吾等只是凡夫。
→ Lanjaja     : 別這麼客氣。L大c大都是真強者，大家有目共睹
→ Lanjaja     : 也謝謝R大的提醒，我再消化一下
推 LPH66       : 所以所有組合在配對時要換"固定"的一對相鄰數字
→ LPH66       : 這樣才能保證所有排列全部配對成功
→ LPH66       : 概念上其實跟 c 大提的"乘以(12)"是一樣的
→ LPH66       : 每個排列把固定的兩數 ((12) = 第一第二數) 交換
→ LPH66       : 即是它的配對