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※ 引述《chen11907 (紅票)》之銘言: : 想問這題的(a)小題該怎麼下手 謝謝大家 : https://i.imgur.com/EcQSIbA.jpg
: ----- : Sent from JPTT on my iPhone 連結裡兩個問題是 P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} 的推廣. (a) P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} (b) P{∪A_i} ≦ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k} 它們和 "取捨原理" 有關. 取捨原理是: P{∪A_i} = Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j} + Σ P{A_i∩A_j∩A_k} -+.....+(-1)^{n-1} P{∩A_i} 以上等式不等式其中註標都是 1~n. 要證明上列各不等式, 數學歸納法最方便. (a) 從 n=2 也就是兩個事件開始. (b) 涉及三事件交集, 所以要從3個事件開始. n = 2 時, P{A_1∪A_2} = (P{A_1}+P{A_2}) - P{A_1∩A_2} 故 (a) 之不等式(因含等號)成立. 假設 n=k 時 (a) 成立. 則 n = k+1 時 P{∪A_i} = P{∪{i=1~k}A_i} + P{A_{k+1}} - P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})} ≧ (Σ{i=1~k} P{A_i} - Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j}) + P{A_{k+1}} - P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})} = ( Σ{i=1~k} P{A_i} + P{A_{k+1}} ) - ( Σ{i,j=1~k,i<j} P{A_i∩A_j} + P{∪{i=1~k}(A_i∩A_{k+1})} ) = Σ{i=1~n} P{A_i} - Σ{i,j=1~n,i<j} P{A_i∩A_j} 也就是 n = k+1 時, (a) 也成立. 所以, 依數學歸納法原理, 對任意大於 1 的正整數 n, 都成立: P{∪A_i} ≧ Σ P{A_i} - Σ P{A_i∩A_j}. (b) 之證法類似, 但從 n=3 開始. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.66.116 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1584072406.A.6A9.html ※ 編輯: yhliu (114.46.66.116 臺灣), 03/13/2020 15:06:26
chemmachine : 推劉老師大神 03/13 19:57