※ 引述《decalcla (chih hsun)》之銘言：
: http://i.imgur.com/SfvGJ4I.jpg
: 請問第4題有沒有問題呢
: 或是有更簡潔的做法
: 源自:Rudin習題
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: Sent from JPTT on my Sony H4493.
利用 "α是A的下界 iff -α是-A的上界" ------------(*)
可以馬上得出 sup(-A)≦-inf A 跟 -sup(-A)≦inf A
從而得證 inf A = -sup(-A)
(因 inf A 是A的下界 → -inf A是-A的上界 → sup(-A)≦-inf A
sup(-A)是-A的上界 → -sup(-A)是A的下界 → -sup(-A)≦inf A )
現在回頭證明(*)
=>
for all x (x∈-A→-x∈A→α≦-x→x≦-α)
<=
for all x (x∈A→-x∈-A→-x≦-α→α≦x)
Q.E.D.
或是我們用 下(A) 表示所有A的下界的集合
上(-A) 表示所有-A的上界之集合
(*) 可表示為
下(A)=-上(-A)
因此
max(下(A))=max(-上(-A))=-min(上(-A)) -----------(**)
從而 inf A = -sup(-A)
不過證明(**)的第二個等號又要兩三行以上
不知道有沒有其他更簡潔的做法
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