Re: [中學] 請問加法性質證明

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《jack41402 (抹茶好喝)》之銘言：
: 如題
: 網路上很少 交換律與結合律 的證明
: 想請問大家如何證明兩者？
: 主要是為了證明 1+ 1 = 2定義的加法符合加法性質
如果是指本版第一篇的加法...
以下用 * 代替上標的 + 代表後繼元:
  m+0 = m
  m+n* = (m+n)*


首先證明 n+1 = n* ( = 1+n (已證))

(1) 0 + 1 = 0 + 0* = (0+0)* = 0*

(2) 假設 k+1 = k*, 則
    k*+1 = k*+0* = (k*+0)* = (k*)*

由 (1), (2) 得證: for all n in ω, n+1=n*=1+n.


其次證明 (m+1)+n = m+(n+1)
或等於證明 m* + n = m + n*.
(1) n = 0 時,
    m* + n = m* + 0 = m* = m+1 = m+0* = m+n*.
(2) 假設 n=k 時成立. 則 n=k* 時
    m* + n = m* + k* = (m* + k)* = (m + k*)*
      = m + (k*)* = m + n*
故: for all m, n in ω, m*+n = m+n*.


現在證明交換律 m + n = n + m

(1) n = 0 時..
  (a) m = 0 則 m+n = 0+0 = n+m.
  (b) 設 m = k 時 0+m = m = m+0. 則
      m = k* 時,
         0+m = 0+k* = (0+k)* = k* = m = m+0.
  故: for all m in ω, 0+m = m = m+0.

(2) 假設 n=k 時, m+n = n+m for all m.
  則, n = k* 時,
    m + n = m + k* = (m + k)* = (k + m)*
      = k + m* = k* + m = n + m

由 (1), (2) 得證在 ω 中, 加法交換律成立.


證明結合律: (m+n)+k = m + (n+k)

(1) n = 0 時,
    (m+0)+k = m+k = m+(0+k).

(2) 假設 n=p 時成立. 當 n = p* 時:
    (m + p*) + k = (m + p)* + k = (m + p) + k*
       = m + (p + k*) = m + (p* + k)

所以, for all m,n,k in ω, 加法結合律成立.

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→ musicbox810 : 請問已1+n證是怎麼證的？文中只有只有m+n*=(m+n)*
→ musicbox810 : =1+n不就是原來文章要求證明的交換律嗎?應該是證明
→ musicbox810 : 的重點吧?
→ yhliu       : 該文證了啊!
→ yhliu       : 6.11 Lemma n^+ = 1 + n
→ yhliu       : 其實那篇文章對 1+1=2 的證明就是從 1+n = n* 開始.