[微積] 勻速參數曲線的轉彎方程求解

[coastq22889 (chi_square)]

工程上遇到的一個路徑問題，不知道有什麼方法可以推導

考慮二維情況下，一參數曲線r(t)由(0, 1)出發且勻速前進至(1, 0)，假設此曲線需滿足條
件
1. ||r’(t)|| = 1
2. max|r_x’(t)|, max|r_y’(t)| <= V (若滿足1, 4, 5，則 V = 1 自動滿足）
3. max|r_x’’(t)|, max|r_y’’(t)| <= A
4. r(0) = (0, 1); r’(0) = (1, 0)
5. r(T) = (1, 0); r’(T) = (0, -1); T = inf{t >= 0| r(t) = (1, 0)}

則想求，在滿足1 - 5 中的最短的r(t)為何？

另想求一個變化，因為想說V, A需有夠大才能有解，所以想說在滿足 1 - 4 的情況下

r(t) 往 y = 0出發通過某x_T，也就是r(0) = (1, 0) 且 r(T) = (0, x_T)

則可使x_T最小的 r(t) 為何

想學變分學裡的最速降線列式但卻寫不下來，不知道有沒有適合求這條r(t)的方法

解析解或數值解都可以，先謝謝各位了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.52.40.148 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1585373988.A.731.html
推 chemmachine : int{t >= 0| r(t) = (1, 0)} 這個符號甚麼意思?
→ chemmachine : 在滿足 1 - 4 的情況下，r=(1，0)和4的r(0)=(0，1)
→ chemmachine : 矛盾
推 chemmachine : 題意不清
→ chemmachine : r(t)=(x(t)，y(t)) 考慮方程x'(t)^2+y'(t)^2=1去解
→ chemmachine : 有初始值的微分方程。可以考慮x(t)=cost y(t)=sint
若考慮限制式1 - 5，那麼在A>=1時，等速率圓周運動 （sin t, cos t) ； 0 <= t <= pi
/ 2 是一個可行解沒錯，但難點在於可否證明或反證 (sin t, cos t) 是此時所有滿足1 -
5的解中最短的
推 chemmachine : r(t)的長度會是int|r'(t)|=inta到b=T時間
現在就是連結束時間T是多少都不知道，所以不知道怎麼積
推 chemmachine : 以上是我想到的幾個工具。當然變分法是可以考慮用看
推 chemmachine : 看懂了，你的int是積分。
抱歉打錯字，我想打的是inf，意指當r(t)=(1, 0)時的t，已修正
※ 編輯: coastq22889 (27.246.202.212 臺灣), 03/28/2020 23:11:33
推 chemmachine : 你這題可以用物理去想。
→ chemmachine : 單純用變分法我無法直接這題，因為你的限制式很多
→ chemmachine : 我用變分法+物理圓周運動有一個做法明天打
推 chemmachine : 變分法如你所言，我印象不是很好使用。你這題剛好有
→ chemmachine : 物理意義。
※ 編輯: coastq22889 (27.246.202.212 臺灣), 03/29/2020 00:05:50
→ Vulpix      : 2這條應該可以省略。基於4和5，V≧1。而1造成
→ Vulpix      : |r_x'(t)|和|r_y'(t)|必≦1。
是，我稍微備註一下。2 是可以由1, 4, 5推導出來的式子
※ 編輯: coastq22889 (27.242.161.192 臺灣), 03/29/2020 09:46:45
※ 編輯: coastq22889 (27.242.161.192 臺灣), 03/29/2020 09:48:49
推 chemmachine : https://imgur.com/a/7C5b4AH
→ chemmachine : https://imgur.com/a/5ujz9H4
→ chemmachine : https://imgur.com/a/YnkDisf
→ chemmachine : https://imgur.com/a/iY752zN
→ chemmachine : https://imgur.com/a/SYFkt6D
我懂了，也就是當A>=1的時候，以 A = 1 / R^2 的向心力公式在兩個boundary做圓，最後
做兩圓的切線就可以得到最佳路徑，感謝提供。
→ chemmachine : 你這題因為限制式太多，所以古典變分法不好用，也因
→ chemmachine : 為限制多，剛好又滿足物理上的圓周運動，所以應該可
→ chemmachine : 照我這樣子解。<1>到<5>化為物理描述，用圓周運動
→ chemmachine : 變分法的兩點之間連線，極端性原理(不懂上網查)。
推 chemmachine : 我論證是所有曲線喔，不是只有圓而已，技巧性的把圓
→ chemmachine : 以外排除。
→ chemmachine : https://reurl.cc/yZe9o8 這裡說古典變分法對有限制
→ chemmachine : 式的實際工程問題式無能為力的
推 chemmachine : 你的第二個變化題用以上討論可以輕鬆做出，不過你題
→ chemmachine : 目數字還是沒改
→ chemmachine : 也就是r(0) =(1, 0)<=和<4>矛盾且 r(T) = (0, x_T)
這邊我大概瞭解了，若A>4則向心力足以提供路徑在到達y=0時轉一整圈，此時x_T可為-inf
，其餘就是做一最小圓看圓與y=0時x的交點
※ 編輯: coastq22889 (110.26.43.210 臺灣), 03/29/2020 20:20:06
推 chemmachine : 恩，不同的a會影響軌跡，看要轉一圈或多圈都行。因
→ chemmachine : 為直線比較好，所以圓讓它越小圈越好。