[線代] vector space 和 span(名詞)的差別

[benasking712 ([email protected])]

各位大大好 如同標題 我想請問vector space 和 span有什麼差別？
我有先爬過文 但是之前的幾篇我還是沒有看得很懂 所以想再請教一下

https://i.imgur.com/PV8UhhC.jpg

上面這個是我們的課文

裡面寫到"考慮一個向量的集合，如果裡面有兩個向量，他們的線性組合仍然在該集合裡面，那該集合就是一個向量空間"

後面則寫到"一個由給定向量以及他們的線性組合形成的集合，叫做span"


在我的理解，vector space 和 span 同樣是由幾個向量以及他們的線性組合構成的集合，看不出他們有什麼差別。
我本來以為span是生成vector space的東西，但那好像是基底在做的事情

我有去詢問我們教授，他的解釋是 span 中的向量 component 都是一樣的，但 vector space 不一定

但課本的第一句話就有說 "has the same component"，而且線性組合出來的向量component應該也要是一樣的吧？！
所以我覺得這個說法還滿奇怪的


因此想請問 span 和 vector space 之間的關係是什麼？謝謝～

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→ Ricestone   : span是  這組向量的span
→ Ricestone   : 它是跟這組向量有特定關係的形容
→ Ricestone   : 所以我們口語上可以說一組向量能span出一個向量空間
→ Ricestone   : 就把它當動詞用
→ Ricestone   : 所以你看書上寫的是 span "of these vectors"
        所以 span 和 vector space 講的是同樣的東西 但是用不同的角度形容?!
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 03/31/2020 12:15:51
→ Ricestone   : 不一樣啊，vector space沒有指定哪一組
→ Ricestone   : span是vector (sub)space，並跟固定一組向量有關係
→ Ricestone   : 我們會說A是一個向量空間，但不會直接說A是一個span
推 chemmachine : https://imgur.com/a/M9HJ4AN
→ Ricestone   : 一定會說成是A是b這組向量的span
→ chemmachine : 令v是一個向量空間。從v中取有限或無限個元素當作
→ chemmachine : s。則span s是包含s這個集合的最小子空間(v的子空間
→ chemmachine : theorem1.5，照片要用小畫家開，不然解析度不夠。
→ chemmachine : 一個實例是考慮三維空間，在xy平面任取兩不平行向量
→ chemmachine : 則span s=xy平面
所以可以說 span 就是 vector subspace 囉？！
一組向量的span = 一組向量的vector subspace 可以這樣說嗎？
所以一定要先有vector space才能有span嗎？
不好意思 還是沒有完全理解
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:37:38
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:38:32
推 chemmachine : 對。先取好vector space 再取span 。這組span會是v
→ chemmachine : 的子空間(subspace)
→ chemmachine : 如果你沒有vector space的話，取linear combination
→ chemmachine : 叫做所有s的線性組合的集合。不過也許有人會誤用
→ chemmachine : 就是了
→ chemmachine : 一組向量的span = 一組向量的vector subspace 改為
→ chemmachine : 一組向量形成的subspace
推 chemmachine : 你的s裡的元素很接近subspace的basis，差別在係數倍
→ chemmachine : 和可以多一點重複的base
→ chemmachine : 跟做一些加減係數倍
了解了解 不好意思想再問一下 既然span跟subspace一模一樣為什麼還要用兩個名詞啊？有什麼特別的意義嗎？
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:52:21
推 sin55688    : 為什麼會一模一樣呢?你把課本中span全換成subspace
→ sin55688    : 不覺得讀起來很奇怪嗎...
→ sin55688    : 然後你向量空間的定義也不太正確
推 chemmachine : subspace可以不知道他是那些元素展開，且強調它是子
→ chemmachine : 空間的性質。span會強調它是線性組合的性質，且它不
→ chemmachine : 一定能展成你所要的子空間。我們有一些慣用符號是約
→ chemmachine : 定俗成的，你只需要知道它們在某些意義上有關，但在
→ chemmachine : 不同定理上有時用span有時用subspace
→ chemmachine : 而且v可以有很多個subspace，span s只是其中一個sub
→ chemmachine : space
推 chemmachine : 你的想法很正確了，span s是某個subspace，可是如果
→ chemmachine : 我把課本裡的每個subspace都寫出它的span{x1 x2 x3}
→ chemmachine : 這樣是不是很嚕嗦?而且s有可能有無限多個集合或未知
推 sin55688    : 樓上的回答會誤導原PO吧，例如"不同定理上有時用spa
→ sin55688    : n有時用subspace"? span跟subspace怎會這樣混著用?
推 chemmachine : 回樓上，https://reurl.cc/GVonvW 23:20秒李俊毅說
→ chemmachine : 說每個SPAN會形成一個SUBSPACE，每個SUBSPACE也可以
→ chemmachine : 寫成一個SPAN。
推 chemmachine : 但兩方要完整互推還是有一些寫法上的問題
→ chemmachine : 有點像是學生問到循環小數或是分數，為什麼1/3不寫
→ chemmachine : 0.bar3一樣。0.bar3還有1/3，2/6好多種寫法
→ chemmachine : subspace如果你清楚了解它的結構可以寫成不同基底的
→ chemmachine : 的span，每一個span也可以寫成subspace。李俊毅是學
→ chemmachine : 電機的，我想他會用比較淺顯的道理來說明兩者關係
推 chemmachine : 更正 李宏毅
推 chemmachine : 給原po，span和subspace一開始的定義是不同的，所以
→ chemmachine : 你應該要記得它們各自不同的定義。數學系的學生
→ chemmachine : 不會說它們相同，因為除了線性空間，其他空間可能只
→ chemmachine : 有subspace，沒有span。比如說某個拓樸空間。在線代
→ chemmachine : 裡，可以由定理推得兩者相關性。要知道兩者是有關的
→ chemmachine : 兩者的相關是推理而得，不是它們本來一樣
推 sin55688    : 口語、符號的簡化過頭了吧。什麼叫span會形成一個子
→ sin55688    : 集合，誰來span?
推 chemmachine : <=subspace的基底的span
→ tim32142000 : span的主詞是向量，指特定向量線性組合出來的空間
→ tim32142000 :       主體
        先謝謝四位大大的解說 尤其是C大打了一長串的文字解釋 還有R大一開始的講解 謝謝你們
經過你們的解釋 我有大概理解span 和 subspace的差別了但還是不是很確定 想再確認一下

我現在的理解是 subspace和span最大的不同是定義的起點是不一樣的 前者是從集合 後者是向量 只是因為線性組合出來的東西符合subspace的定義 所以最後推導出的結果兩者是相同的

所以span只能用一組向量來描述；而subspace可以用其他的方式，像是v1+v2=0之類的來描述
所以我們只會問一個向量set是不是一個subspace 而不會問該set是不是一個span

然後我們之所以會說一組向量的span而不用subspace 是因為想要強調該集合不只包含原本?

不知道可不可以這樣比喻 就好像物理上的光和電磁波 本來各自是從光學和電磁學導出來的
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:32:24
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:55:06
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:58:48
→ Ricestone   : 我們本來就不會說「一組向量的subspace」，就算真的
→ Ricestone   : 有人這樣講，那也一定是指那組向量的span
→ Ricestone   : 例如現在有(0,1),(1,0)這兩個向量，我們不會說
→ Ricestone   : {(0,1),(1,0)}的subspace
→ Ricestone   : 至少會講成包含這兩個向量的最小子空間之類的
→ Ricestone   : 還有一個向量set通常都不會是空間，你現在遇到的狀
→ Ricestone   : 況裡面，空間都是由無限個向量組成的
→ Ricestone   : 再說一次，span是對特定一組向量的敘述，講的就是
→ Ricestone   : 這組向量線性組合出來的所有向量的集合，當然它同時
→ Ricestone   : 是子空間，但我們想表達的就是「這組向量」能span出
→ Ricestone   : 這個子空間，所以說這個子空間是「這組向量」的span
→ Ricestone   : 然後你內文裡面對向量空間的定義，把any弄不見了
→ Ricestone   : 是裡面任意兩向量的線性組合都還在這集合裡面
喔喔對ㄟ 不小心少了any之後 意思就變不一樣了
了解了解 謝謝你的解說 我想我了解span和subspace的差別了 再次謝謝你們~
→ isaswa      : subspace=符合某些特性的集合
→ isaswa      : 任何的span都會是一個符合subspace特性的集合
※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 04/02/2020 03:11:26
→ Ricestone   : 我上面說一個向量set不會是空間少講了有限個數
→ Ricestone   : 不過你應該懂我的意思
→ benasking712: 是指說“有限個”向量set不會是空間 但無限個有可能
→ benasking712:  這樣嗎？
→ Ricestone   : 因為空間本來就是種向量集合，所以當然不對
→ Ricestone   : 你現在會遇到的空間通常都是佈於實數或複數的，所以
→ Ricestone   : 通常會包含無限個向量
→ Ricestone   : 我覺得你現在最需要的是看或嘗試去證明span(S)是一
→ Ricestone   : 個subspace
→ Ricestone   : 這過程應該可以讓你更明白你現在的其他疑問
→ benasking712: 不太懂你的意思 所以“有限個”是加在“還有一個“
→ benasking712: 有限個的”向量set通常都不會是空間，” 是加在這個
→ benasking712: 地方嗎？意思是向量空間也可以只有有限個向量？
→ Ricestone   : 係數積的係數如果是有限體就可以只有有限個向量
→ benasking712: 所以係數積的係數沒有規定一定要是實數？
→ Ricestone   : 對，實際上任何體都可以用來當係數
→ Ricestone   : 只是R跟C最常用而已
→ benasking712: 好的了解 謝謝你的解說~謝謝