Re: [新聞] 望月新一關於abc猜想的證明已被接受

[TassTW (塔矢)]

正在 shelter in place, 想說幾百年沒在數學版發文, 來科普一下 abc 猜想好了
這篇會從大學部代數導論的觀點出發, 給一些初學者能看懂的連結

1. Mason-Stother 定理

1.1
以下我們觀察複係數多項式
對每一個非零多項式 f(t), 我們可以定義

n(f) := f 相異根的個數

比方說

n(t^2+1) = 2, 因為 t^2+1 = (t+i)(t-i) 有兩個相異根 @ t = ±i
n(t^2) =1, 因為 t^2 有一個重根 @ t = 0

1.2
現在看三個非零多項式 f(t), g(t), 和 h(t)=
如果 h(t) = f(t) + g(t),
那麼用大學部代數 (cf. Lang) 可以簡單證明他們之中最高的次數,
可以被他們乘積的相異根個數刻劃:

───────────────────────────────
定理(Mason-Stother)

如果 f 與 g 互質, 則
        max{deg(f), deg(g), deg(h)} ≦ n(fgh) - 1
───────────────────────────────

1.3
比方說
假設 f(t) = t^2, g(t) = 1-t^2, h(t) = 1
則 deg(f) = 2, deg(g) = 2, deg(h) = 0,
   n(fgh) = n(t^2-t^4) = 3.
可驗證
        max{2,2,0} = 2 ≦ 3-1

1.4
我們可以應用 Mason-Stother 定理來證明多項式版本的費馬最後定里:

───────────────────────────────
Cor.
給定 n > 1 和兩兩互質的非零複係數多項式 F(t), G(t), H(t)
如果 F^n + G^n = H^n, 則 n = 2
───────────────────────────────
(pf)
套用 MS 定理到 f = F^n, g = G^n, h = H^n 上:

n*deg(F)
= deg(F^n) ≦ n(F^nG^nH^n) - 1
           =  n(FGH) - 1                    n 次方不影響重根數
           ≦ deg(F) + deg(G) + deg(H) - 1  多項式性質

同理我們可推得 n*deg(G) 和 n*deg(H)  有同樣的上界
把三式加在一起, 可得

n(deg(F) + deg(G) + deg(H)) ≦ 3(deg(f) + deg(G) + deg(H) -1),

或

(n-3)(deg(F) + deg(G) + deg(H)) ≦ -3,

保證 n 必須 < 3, 因此 n = 2.
───────────────────────────────

2. abc 猜想

2.1
動機就是將複係數多項式環改成整數環, 希望對應的版本也會成立.
我們可以建立對應的關係如下:
┌──────┬────┬────────────┐
│f(t) in C[t]│ deg(f) │ n(f) = 相異根的個數    │
├──────┼────┼────────────┤
│   a in Z   │   |a|  │ N(a) = 相異質因數的乘積│
└──────┴────┴────────────┘

2.2 MS 定理推廣 (alpha 版)

如果直接依樣畫葫蘆, 我們得到
──────────────────────────────
若 a + b = c, abc ≠ 0, 且 gcd{a,b,c} = 1, 則
    max{|a|, |b|, |c|} ≦ N(abc) - 1
──────────────────────────────
簡單試幾個例子:

a = 9, b = -1, c = 8,

N(abc) = N(-2^3*3^2) = 2*3 = 6

max{|a|, |b|, |c|} = 9 並不小於 6-1

2.3 MS 定理推廣 (beta 版)

如果我們允許一個常數倍數來當上界, 這樣可行嗎?
──────────────────────────────
若 a + b  = c, abc ≠ 0, 且 gcd{a,b,c} = 1, 則存在常數 C 使
    max{|a|, |b|, |c|} ≦ C*N(abc)
──────────────────────────────

稍微構造一下, 會發現:
取 a = 5^(2^n) - 1, b = 1, c = 5^(2^n)

由數學歸納法, 當 n = 1 時 2^n 整除 a, 因此
    a = (5^(2^(n-1) + 1)(5^(2^(n-1) - 1)  可被 2^n 整除
         └──┬──┘  └──┬──┘
              偶數            降階
將 a 寫作 a = 2^n*d
因此 N(abc) = N( 2^n * d * 5^(2^n)) ≦ 10d

一方面, 由 a = 2^n*d ≦ c = 5^(2^n), 取 log 可得
        nlog(2) + log(d) ≦ log(c), 或
        log(d) ≦ log(c) - nlog(2).

另一方面, 假設不等式成立, 我們有 c ≦  C*N(abc) ≦ 10Cd, 則
        log(c) ≦ log(10) + log(C) + log(d)
               ≦ 1 + log(C) + log(c) - nlog(2)  (帶入上式)
故
        nlog(2) ≦ 1 + logC

因此, 不管常數 C 怎麼取, 只要 n 夠大都可構造出反例

2.4 abc 猜想

最後, 於 1985 年 Oesterle-Masser 從冪次上修正:
─────────────────────────────
abc 猜想
若 a + b = c, abc≠0 且 gcd(a,c,b) =1.
對於任意的 e>0, 都存在常數 C = C(e) 使得

    max{|a|,|b|,|c|} ≦ C*(N(abc))^(1+e)
─────────────────────────────

abc 猜想和許多數論中的猜想等價, 包括
Lang-Waldschmidt 猜想,
generalized Szpiro 猜想,

也可以用來證明 Asymptotic 費馬定理,
(如同多項式中 MS定理可以用來證明多項式版的費馬最後定理)
證明 Artin 猜想, 和 Marshall-Hall 猜想

3. abc 猜想近況

3.1 宇宙理論

於 2012 年, 自稱宇宙際幾何學者的京都大學教授望月新一宣稱他發明的 宇
宙際 泰赫穆勒理論 (IUTT) 可以證明 abc 猜想. 該證明長約 600 頁,
自公開發表以後持續修正, 數學社群持續想要了解 IUTT

3.2 Scholze-Stix 2018 報告

2018 費爾茲獎得主, 德國馬普數學所主任 Peter Scholze 與 Jakob Stix
在訪問望月氏以後發表了一份報告

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf

當中提出見解, 為什麼他們認為 abc 猜想沒有被 IUTT 證明.
他們認為 IUTT 的證明有著不能被修復的缺陷, 而望月氏的
解釋並沒有能夠說服他們.

報告中也提到望月氏會提出另一份報告提出異議.
可以看出這次的訪問並不愉快:

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-08.pdf

首段他說:
"...我只能說我看到 SS 報告中其中一點時, 感到難以言喻的震驚..."
"...這展現了他們對於研究所等級, 甚至好一點的大學部都能掌握的
 heights 理論完全不懂 (profound ignorance)..."

3.3 最新消息

2020年4月, 望月氏的工作被京都大學的研究機構 RIMS 期刊接受.
這並不代表證明被認為是正確的, 最低限度這代表了 RIMS 認為
這些工作是有學術價值, 值得與數學社群分享的.

批評者認為望月氏本人就是 RIMS 其中一名編輯, 編輯發表在自己
的期刊, 只要遵守利益迴避是沒有問題的, 但是並不是很光彩.

此外, PRIMS 這個期刊, 雖說不差, 但真正解決 abc 猜想的工作,
應該值得發表在世界頂級的期刊上.

目前為止看起來望月氏並沒有對於 SS 的報告作出更多回應.
(西方)數學社群看起來仍然傾向相信 SS 多一點.



※ 引述《giraffe1021 (giraffe)》之銘言：
: 完整標題：
: Mathematical proof that rocked number theory will be published
: 原文連結：
: https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2
: 共同社中文報導：
: https://tchina.kyodonews.net/news/2020/04/dca31ffc041d-abc.html
: 翻譯摘要：
: 經過了8年的時間，日本數學家望月新一終於得到一些認可了，他的600頁abc猜想證明目前
: 已通過Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)審
: 查並即將發布
: RIMS中的兩位數學家柏原正樹及玉川安騎男在今日(4/3)於京都的記者會說明了這個消息，
: 柏原表示這「將帶來重大的影響」。望月這幾年來一向拒絕媒體採訪，這次記者會他也沒有
: 出現。
: 8年前望月在網路上發布了4篇關於「宇宙際Teichmüller理論」的論文，共長達600多頁，
: 其中自稱的結論之一是能證明abc猜想。
: abc猜想是關於整數的加法和乘法關係的猜想，1985年由2名歐洲的數學家提出。其內容大概
: 是，由沒有公因數的自然數a和b相加得出數c，對a, b, c進行質因數分解，將得到的質因數
: 各相乘一次後得出數d，則在「大多數情況」下d大於c。
: 許多數學家花了好幾年的時間試著想了解望月的證明，2018年時兩位數學家Peter Scholze
: (同年fields medal得主)與Jakob Stix認為該證明有個無法修復的缺陷，但望月認為二者的
: 批評存在「某種根本上的誤解」
: Wiki有abc猜想的完整敘述及其重要性，這邊就不再贅述
: https://zh.wikipedia.org/wiki/abc猜想

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│我心啊！請白潔勝雪║  ．   ,       ˙   ‧.     ． .  曾經底光華已為陳蹟
║請無垢無瑕        │                                  然我心啊，如磐石無轉
╰═══──═──═╯╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴仍燁然如昔  ψTassTW

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 162.242.92.129 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1586018936.A.29C.html
※ 編輯: TassTW (162.242.92.129 美國), 04/05/2020 00:56:26
推 Vulpix      : 塔矢看過了嗎？
→ TassTW      : 我直接相信 Scholze 欸
推 calculusking: 快點推 不然人家會以為我看不懂~ XD
推 HeterCompute: 感謝COVID讓我有TASS大的科普可以看
推 HeterCompute: 不過我不太懂，如果發表有錯不是應該被編輯按在地上
推 NoireIan    : 推
→ HeterCompute: 摩擦嗎？怎麼還能發表？是數學界可以接受非正確但
→ HeterCompute: 可能有學術價值？還是只是野雞期刊的特例？
推 Vulpix      : 因為他自己就是編輯。
推 yclinpa     : 相信 Scholez +1
推 znmkhxrw    : 推推
推 giraffe1021 : 推 感謝分享
推 handsomecat3: 據說要看懂他論文的內容，需要很多年的時間，因為
→ handsomecat3: 他自創了一套很新奇的體系。
推 hcsoso      : Scholze對新消息的評論: tinyurl.com/vhdrsph
推 tiwsjia     : 很棒的文章，感謝！
推 kuromu      : .