Re: [中學] 不盡相異物排列問題

[calculusking (微積分王)]

※ 引述《nest0380 (阿比)》之銘言：
: 各位先進 小的不才 想請問基礎的排列問題
: 若要將n個不完全相異物進行排列
: 為何重複的種類的總和要用除的而不是減的？
: 例如有3顆白球、2顆紅球及2顆黃球
: 我們將其排列的總和為7!/3!*2!*2!
: 但為什麼不是7!-3!*2!*2!
: 我知道用減的一定會少 答案一定不對
: 但這也僅止於強記的階段而已
: 我想知道原理是什麼
: 用除的跟用減的到底差在哪裡
: 請賜教
: 謝謝
如果把問題簡化，兩黑一白一紅任意排列，你覺得是 4!-2! 還是 4!/2!

兩個相同的黑色交換後還是一模一樣，所以應該要除以二!

不知道這樣解釋有比較容易理解嗎?



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推 nest0380    : 所以直觀來說就是重複了所以除掉嗎？
→ nest0380    : 我知道重複要扣掉 但有點不太明白除法的意義是什麼
→ nest0380    : 因為一樣所以要除掉 這邊我過不太去
→ nest0380    : 除以2!是因為它們其實是1所以要均分掉嗎？
對的，因為重複算了兩次! 舉例來說 黑1黑2 白紅 跟 黑2黑1 白紅 都一樣，
(看起來都是黑黑白紅)

所以所有東西都被重複算兩次了，所以應該要除以二。

回到你原本問的題目，可以思考成重複了幾次?

知道後就是把重複的次數(多算了幾倍)除掉。

→ yhliu       : 扣掉一般是用來扣掉 "不允許" 的. 重複的如果你能知
→ yhliu       : 道因重複而多算了幾種排列法, 當然可以直接扣除.
→ yhliu       : 但在這問題, 因重複而多算的排列數並不是 3!2!2!,
→ yhliu       : 而是不盡相同7物(3+2+2)的每一種排列被重複了3!2!2!
→ yhliu       : 次, 才構成7相異物的排列數7!. 所以 7! 除以重複數
→ yhliu       : 3!2!2! 才是 3+2+2 這7個不盡相同物的排列數.
→ yhliu       : 舉個不是排組的計數的例子: 如果一疊鈔票每張被點計
→ yhliu       : 3次而後總點計數是96, 表示這疊鈔票共 96/3=32張.
※ 編輯: calculusking (1.161.227.193 臺灣), 04/06/2020 19:59:50
推 nest0380    : 哦~~~~~ 重複計算的排列數是7! 而3! 2! 2!都是指重
→ nest0380    : 複計算的次數 到這邊我理解了 若是原po出的題目二
→ nest0380    : 黑一白一紅我知道重複的次數是2! 所以是4!/2! 但重
→ nest0380    : 複的球種若不是只有一種 而是像我一開始提到的3白2
→ nest0380    : 紅2黃 它們重複的總次數為什麼是3!*2!*2!
→ calculusking: 因為3白2紅2黃任意交換要當成一樣，重複次數就是
→ calculusking: 3! 2! 2!
推 nest0380    : 我現在的理解是 只有2紅2黃的話 先當成都不一樣的球
→ nest0380    :  紅1配黃1 紅1配黃2 紅2配黃1 紅2配黃2 有四種排列
→ nest0380    : 方法 所以才說是2!*2! 但因為實際上紅球黃球都各自
→ nest0380    : 不可分 這2!*2!種其實只有1種 也就是重複了2!*2!次
→ nest0380    :  所以要除掉 以此類推 對嗎？
→ yhliu       : 對! 紅球兩種排列, 實際上它們不可區分, 兩種排列是
→ yhliu       : 同一種.  黃球也是這樣. 所以總共重複計算了 2!2!=4
→ yhliu       : 次. 如果紅球2黃球3, 則紅球2!=2種排列, 黃球3!=6種
→ yhliu       : 排列, 在同色球不可區分的假設下, 各自不同的排列
→ yhliu       : 都應艋成一種, 也就是一種不同顏色球的排列被重複算
→ yhliu       : 了 2!3!=12 次, 所以就要除以 2!3! 調整回來.
→ yhliu       : 你說的 "紅1配黃1" 的說法不是很正碓, 因為
→ yhliu       : 排列可能是 "RRYY",  在球都能區分的惰況它可以變成
→ yhliu       : 4種: RrYy, rRYy, RryY, rRyY. 在同色球不可分的情
→ yhliu       : 況, 就是 RRYY 這一排列法被重複算了4次. 其他排列
→ yhliu       : 法也都類似, 如 YYRR 和 YyRr,yYRr,YyrR,yYrR.
推 nest0380    : 一個2!是指紅球任意交換 一個2!是指白球任意交換
→ nest0380    :  但他們其實都不能任意交換 2!*2!是同時遇到任意交
→ nest0380    : 換的總次數 我這樣理解對嗎？