推 chemmachine : 推l大，這種題目考生常常亂背一通。 04/07 09:27
推 demon : 感謝L大，推理能力太強了吧，這的確是學生背出來的 04/07 16:58
→ demon : 題目，後面沒有答案應該是當初背這題的學生不會寫 04/07 16:58
→ demon : 所以題目的形式也可能記錯 04/07 16:59
推 demon : 照片是我自己拍的，學生說從輔導室拿到的考題 04/07 17:01
※ 引述《demon (デモン@ptt)》之銘言：
: 第67題
: https://i.imgur.com/ed5WYCp.jpg
: 推 LPH66 : 有給參考答案嗎? 04/07 02:35
: → demon : 沒有答案耶 04/07 06:59
之所以會這樣問是因為
(1) cos 值在接近 0 時接近 1, 所以原式這樣後面會有很多項很接近 1
但因為分母的關係這些項很難用根式寫得出來:
眾所周知的尺規可作圖的奇邊多邊形為費馬質數乘積
這其實表示 cos(2π/n) 對奇數 n 只有在 n 是費馬質數乘積時
才能用加減乘除及平方根表示出來; 例如像 cos(2π/7) 就沒有只用平方根的表示法
如此一來這和式的後面項會有很多消不掉的東西
(2) 和式上限是到 180, 其實反而會讓人聯想到角度度數而不是 n 等分
尤其是如果以 n 等分來看的話 180 其實是個很任意的上限
我這裡用 Mathematica 計算給出的近似值是 171.46400445
看起來不像是個容易在考場上寫得出來的答案
(2') 這題應該不會是想考黎曼和的積分近似
因為真要這樣的話我們將會要計算 cos(2π/k) 的積分
但高三記得應該只有講多項式的簡單微積分而已, 這函數的變數 k 甚至在分母
(3) 如果考慮到原題選用 180 可能的理由以及和角度度數的關連的話
那其實有兩個可能的「真正的題目」:
180 180 2π
(3a) Σ cos(k度) (3b) Σ cos( --- * k )
k=1 k=1 180
而這兩題都很容易用積化和差求出來:
(3a) 乘上 2sin(1度) 即可對消; (3b) 同理乘上 2sin(2π/180)
或者幾何一點考慮, (3a) 考慮半個正 360 邊形, (3b) 考慮正 180 邊形
都很容易能求出答案來 (答案在右邊可開燈看→[(3a) -1 (3b) 0])
(4) 最後一點是題目出處, 照截圖來看這題目的原出處應該是各系推甄的第二階段筆試
就我所知這筆試題目應該是沒有公佈的
所以來源很有可能是考生把不會的題目拿出來問
那如果隔了考生這一手的話就很有可能發生
題目其實長得像 (3b) 但考生轉述時卻錯述成了截圖中的題目這樣的情形
這樣一來其他題都有給參考答案, 獨獨這題沒有也就可以解釋了
綜合以上, 我會認為最原始的題目應該有很大機會是 (3b)
不過因為也有 (3a) 的可能性才會問說是不是真的沒給參考答案
以及如果有的話參考答案是給什麼
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※ 編輯: LPH66 (123.195.194.37 臺灣), 04/07/2020 08:01:34