Re: [中學] 求四邊形的最大面積

[TimcApple (肥鵝)]

※ 引述 《DrMeredith》 之銘言：
: 已知一個四邊形邊長依序為3，3，5，8，求此四邊形的最大面積。
: 
: 不好意思沒有太多想法，有想從三角函數著手，但未知太多做不出來囧
: 

那就給一個三角函數的證明吧

設 DA=AB=3, BC=5, CD=8
則 BD^2 = 18-18cosA = 89-80cosC
整理得 71 = 80cosC - 18cosA
四邊形面積 S = (1/2) (9sinA + 40sinC)

4S^2 + (71/2)^2
= 81 + 1600 - 720 cos(A+C)

由於 0 < A+C < 2pi, 當 A+C = pi 時
S^2 有最小值 (1/4) (1681 + 720 - (71/2)^2)

計算省略ow o



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→ TimcApple   : * 最小值 -> 最大值
→ TimcApple   : 本證明已假設是凸四邊形 因為凹四邊形顯然不是答案
推 chemmachine : 不愧是desperato
推 DrMeredith  : 好強大，感謝你!我有想到是和角公式但做不出來，請
→ DrMeredith  : 問是要靠數感找到嗎？Q^Q
→ TimcApple   : 這算常見技術 一行sin一行cos係數一樣 就平方和
→ TimcApple   : 由於本來就知道圓內接時最大 使用一組對角來表示面
→ TimcApple   : 積 接著能寫出這組對角關係式的話 大不了代入消去
→ TimcApple   : 法硬幹 後來發現其實不難做而已
推 yyc2008     : Desperato?很久沒出現了 怎麼知道?
推 chemmachine : 樓上大大，我常常看板，版上常po文的就那20.30位
→ chemmachine : des消失我知道。ptt有查帳號功能，知道des大消失
→ chemmachine : 在閒聊區des大用了他的簽名檔符號，我有印象。
推 yyc2008     : 對 我也覺得D大突然消失 對本板來說滿可惜的
推 cuttlefish  : ow o
推 HeterCompute: 原來是des大大