[線代] 可逆矩陣B, 證明(B^T)B是SPD

[laLavande (5566得第一)]

https://i.imgur.com/7evJfE0.jpg

我已經證出☆大於等於零, 因為平方和一定大於等於零
可是不知道怎麼證☆大於零
我知道與det(B)有關, 可是det(B)很難寫出來

或者我應該從SPD矩陣的所有eigenvalue大於零下手?
可是(B^T)B的所有eigenvalue也很難寫出來

謝謝大家!

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推 yclinpa     : SPD的S是semi,不是symmetric;只要證>=0就好
推 yclinpa     : 若加上B是nonsingular,則考慮內積(x,Ax)=(Bx,Bx)
→ yclinpa     : =0 iff Bx=0 iff x=0
→ laLavande   : 不好意思沒寫清楚 題目是Symmetric Positive Defini
→ laLavande   : te沒錯
→ laLavande   : 謝謝! 我來試試看內積
→ yhliu       : x'(B'B)x = (Bx)'(Bx) = 0 iff. Bx = 0,
→ yhliu       : B nonsingular, so Bx = 0 iff. x = 0.
推 chemmachine : https://reurl.cc/nzrj3l 它又symmetric又semi
推 chemmachine : 說錯是正定非半正定不semi
推 cuylerLin   : spd是symmetric positive-definite沒錯，對稱顯然
→ cuylerLin   : 正定的部分，原po的寫法接上yhliu大的寫法就做完了
→ cuylerLin   : 補充一個延伸考點，如果把B條件放鬆：B是任意的m*n
→ cuylerLin   : 矩陣，試證明矩陣BB'或B'B其中一個是spd。
→ laLavande   : https://i.imgur.com/L8uyMTa.jpg 請問這個方法可以
→ laLavande   : 了解了, 感謝各位大大! 你們真熱心