[其他] 排列組合恆等式 別人在社團問的好奇求解

[alan23273850 (God of Computer Science)]

乳題，在數學愛好者上面看到的，

https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/2887692337946162/

因為那邊沒人留言，只是好奇有沒有人會解～

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1588600324.A.920.html
→ alan23273850: 因為是我也有興趣的題目，所以如果解出來的話我願
→ alan23273850: 意貢獻 1000P
→ yhliu       : 你導出的公式是 E[X] = Σ[k=1~n] k P[X=k}
→ yhliu       : Wiki 的公式是另一期望值公式 Σ[k=0~n] P[X>k]
→ yhliu       : 都是計算非負整數值隨機變數期望值的公式, 所以相等
→ yhliu       : E[X] = Σ[k=1~n](Σ[j=1~k] 1) P[X=k]
→ yhliu       : 寫錯了, 是 E[X] = Σ[k=1~n+1] k P[X=k}
→ yhliu       : E[X] = Σ[k=1~n+1](Σ[j=1~k] 1) P[X=k]
→ yhliu       :  = Σ[j=1~n+1]Σ[k=j~n+1] P[X=k]
→ yhliu       :  = Σ[j=1~n+1] P[X≧j] = Σ[k=0~n] P[X>k]
→ alan23273850: 我等等有空會看，確定弄懂之後會給您1000P 請稍待～
→ alan23273850: 大概懂方向，可是還是覺得跳有點快，希望大大能多加
→ alan23273850: 說明，那個 P 函數一定要是機率函數嗎？因為我不確
→ alan23273850: 定它圖中導出來的函數就是機率函數，有沒有其他種類
→ alan23273850: 的函數也能滿足這個概念呢？我還是先給 1000P !
→ yhliu       : 實際上你的公式是 Σ[k=1~n](k+1)P[X=k+1], 其中n
→ yhliu       : 你好像是用b, wiki 則用M.
→ yhliu       : X=k+1 就是前k人生日都不同, 而第k+1人生日同前k人
→ yhliu       : 之一, 所以是 kn!/[(n-k)!n^(k+1)].
→ yhliu       : 而 X>k 就是 k 人生日都不同, 所以機率是
→ yhliu       : n![(n-k)!n^k]. Wiki中Q函數是 Σ[k=1~n]P[X>k],
→ yhliu       : 額外再加1是P[X>0].
→ yhliu       : 直接就兩式子推導的話就是
→ yhliu       : Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)]
→ yhliu       :  = Σ_k(Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k]
→ yhliu       : 寫錯了. =Σ_kΣ[j=0~k]kn!/[(n-k)!n^(k+1)]
→ yhliu       : =Σ_jΣ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)
→ yhliu       : 這裡必須令 k=n 時, n!/(n-k-1)! = 0, 因為它原型是
→ yhliu       : n(n-1)...(n-k).
→ yhliu       : ∴ Σ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)]
→ yhliu       :          = n!/[(n-k)!n^k]
→ yhliu       : ∴Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)] =
→ yhliu       : 又寫錯...
→ yhliu       : Σ[k=j~n]{n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)]}
→ yhliu       :  = n!/[(n-j)!n^j]
→ yhliu       : ∴Σ[k=0~n](Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k]
→ yhliu       :     = Σ[j=0~n] n!/[(n-j)!n^j] = wiki 的 1+Q(.)