→ lllll12b56 : 感謝大大 05/07 10:02
※ 引述《lllll12b56 (11公分的嘉航)》之銘言：
: 用比值計算收斂半徑公式如下
: https://i.imgur.com/P8O7olV.jpg
首先說一下這個公式只能用在a_n恆不為0且極限存在
一般來說很有可能a_n=0或是極限不存在
更通用的general case是用limsup的root test, 敘述如下
---------------------------------------------------------------
<Thm1> 任給數列a_n: N→F , N是正整數, F=實數或是複數
則 (1) limsup |a_n|^1/n 總是存在, 記做L, L€[0,∞] (含+∞)
(2) 對任何x_0€F, 定義 ∞
f(x):= Σa_n*(x-x_0)^n
n=0
則 (1) 若L=0 則 f(x)在所有F處處收斂
(2) 若L=∞ 則 f(x)只有在x=x_0收斂, 其他皆發散(含不存在與+-∞)
(3) 若L€(0,∞), 則f(x)在{|x-x_0|<1/L}收斂
在{|x-x_0|>1/L}發散(含不存在與+-∞)
在{|x-x_0|=1/L}則是不一定
其中(1)稱作收斂半徑無限大
(2)稱作收斂半徑0
(3)稱作收斂半徑1/L
-----------------------------------------------------------------
而下面你提到交錯級數跟原級數取絕對值, 應該是想到(b)(c)(d)三種變體:
(a) Σa_n*(x-x_0)^n
(b) Σ(-1)^n*a_n*(x-x_0)^n (我不知道你所謂交錯級數是不是這意思, 就納進來)
(c) Σ|a_n|*(x-x_0)^n
(d) Σ|a_n*(x-x_0)^n|
我猜測你所"想像"的收斂半徑大小關係是: (b)>=(a)>=(c)>=(d)
針對(b),(c)的話, 因為|(-1)^n*a_n| = ||a_n|| = |a_n|
所以(b),(c)收斂半徑會跟(a)一樣
而針對(d)的話, 問題即是是否絕對收斂?
答案是YES, 也就是說, 最初敘述的<Thm>其實有更強的敘述:
-----------------------------------------------------------------
<Thm2>
Thm1所敘述的所有"收斂"與"發散"詞彙皆能置換成"絕對收斂"與"絕對發散"
P.S. 邊界點{|x-x_0|=1/L}仍是沒有規則,
僅有級數都通用的: (i) 絕對收斂=>收斂
(ii) 發散=>絕對發散(含不存在與+-∞)
-----------------------------------------------------------------
這也是你可能聽過: 幂級數在收斂半徑內收斂<=>絕對收斂
至於證明的話, 在證明<Thm1>時其實證明過程就已經是直接證絕對收斂了
而或許有人會說是用"Abel's Theorem"證的, 這也沒錯, 因為阿貝爾定理跟<Thm1>
根本一樣的證明技巧, 就是跟幾何級數做Comparison test而已
這裡敘述一下Abel's Theorem:
----------------------------------------------------------
<Abel's Theorem>
任給數列a_n: N→F , N是正整數, F=實數或是複數, x_0€F
定義 ∞
f(x):= Σa_n*(x-x_0)^n
n=0
則 (1) 若f(w)收斂 則f(x)絕對收斂 for any x with |x-x_0|<|w-x_0|
(2) 若f(w)絕對發散則f(x)發散 for any x with |x-x_0|>|w-x_0|
-------------------------------------------------------
: 交錯級數和原級數取絕對值都一樣
: 所以代表交錯級數和原級數收斂半徑恆等？
: 有任何證明或觀念可以參考嗎？
: 因為直觀上交錯級數的收斂半徑應該更大一點 一直想不通
上面已經回答, 總結來說(a)(b)(c)(d)四個級數的收斂半徑完全一樣
而在邊界點{|x-x_0|=1/L}的收斂性與絕對收斂性不同而已
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.235.174 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1588776841.A.91C.html
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.235.174 臺灣), 05/06/2020 23:06:00