[微積] 加速度

[civilis (civilis)]

在向量質函數的章節，課本也順便講了加速度，所以有以下公式

    設向量值函數 r(t)
    速度向量 v(t) = r'(t)
    單位切向量 T(t) = v(t)/|v(t)|
    單位法向量 N(t) = T'(t)/|T'(t)|

    則加速度 a = v'
               = [|v|T]'
               = [|v|]'T + |v|T'
               = [|v|]'T + |v|T'(|T'|/|T'|)
               = [|v|]'T + |v||T'|N
               = a_T*T + a_N*N

    以物理來說加速度的切分量改變速率，法分量改變方向
    所以 a_T = [|v|]' 是速率變化率，這個好理解
    不過 a_N = |v||T'| 要怎麼解釋成"方向改變率"呢？

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.117.194.173 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589170785.A.AF4.html
※ 編輯: civilis (27.242.106.149 臺灣), 05/11/2020 12:34:47
推 chemmachine : an是函數數值，非向量。N是單位法向量，和曲線垂直
→ chemmachine : 呀，只改變方向。物理版最近有一篇類似的討論很完
→ chemmachine : 整。
→ chemmachine : 課本應該有畫出怎麼由t做出它的微分，會垂直。
推 chemmachine : #1Udm0efE (Physics)
→ civilis     : 感謝 你講好多XD 慢慢看
我知道它會垂直只改變方向
不過我想知道關於數值的解釋 說完整一點大概是這樣
"為什麼速率乘切向量變化率的值"就是"方向改變率的值"呢？
※ 編輯: civilis (140.117.194.173 臺灣), 05/11/2020 13:24:16
推 Vulpix      : T'自己就是方向改變率。
推 chemmachine : 方向改變率的值，是由鏈鎖率計算而來
→ chemmachine : 方向改變率的值，是由鏈鎖率計算而來
→ chemmachine : 就是[|v|T]'兩函數相乘的微分，這個值在物理版原文
→ chemmachine : 的回文ERT還計算出V^2/R，你高中熟悉的法線加速度
→ chemmachine : 整個計算的精神就是想辦法把曲線變成兩個垂直的直線
→ chemmachine : 來分析。叫做化繁為簡，有就是降低維度。把二維化成
→ chemmachine : 兩個一維來分析
推 chemmachine : 你這個問題也等價於問為何圓周運動是V^2/R，高中有
→ chemmachine : 教。當然前提是把一小段曲線看成一小段圓弧
推 chemmachine : 更正不是鏈鎖率，是乘法微分法則
推 ERT312      : 喔對 不是連鎖律  我寫錯了
→ ERT312      : |T'(t)| 其實就是角速度 ω，∴ a_n = vω
→ ERT312      : 物體繞密切圓圓心轉的角速度
看了你們在物理版的討論 還有一些思考後
我發現我是邏輯有問題 也問得不清楚 才會覺得好像沒被回答到
有點感到抱歉 也感謝各位能陪我思考
以下敘述我的邏輯問題與結論

我問說 為什麼|v||T'|就是方向改變率呢
但這樣問邏輯不對 能夠這樣問的情況是我已知什麼是方向改變率(已被定義)
而問為什麼|v||T'|符合這個定義 不過實際是我根本不知道什麼是方向改變率
所以我應該反過來想 方向改變率a_N就是|v||T'|
而要解釋a_N這個值代表的意義 可以藉由引入曲率 K = |T'|/|v|來解釋
     a_N = |v||T'| = K|v|^2 = v^2/r    ,r為密切圓半徑
也就是說a_N所代表的方向改變率就是
在該點的密切圓上以同樣速率運動所感受到的方向改變大小
※ 編輯: civilis (140.117.194.173 臺灣), 05/11/2020 21:09:33
推 chemmachine : 我覺得ok