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作者TimcApple (肥鵝)
看板Math
標題[其他] TC題 (1) 多項式/微積分
時間Mon May 11 20:42:28 2020
Problem 1 Γ1 為三次實係數多項式 y = f(x) 有三根 -1, 0, 1, 首項係數為正 Γ2 是 Γ1 以原點為軸心 逆時針旋轉 90 度的圖形 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點 求兩圖形圍成的面積（紅色區域） https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg 註：本題不算真的有高中解法 　　因為使用「高中解法」解出的高中生 　　未必知道自己已經超出範圍了XD 　　簡單來說，就是有個看起來像高中，但其實不是的做法 ======================================================= 大家好，接下來我打算在 ptt 貼一系列的數學題目 這些題目通常在 FB 會先貼一次，之後修改整理到這裡 ‧題目來源？ 　多數是我的個人創作，最遠可以追溯到高中時期。 　少數是別的地方看到的好題目，也可能出了雷同題。 　 ‧為什麼要出題目？ 　個人興趣吧。 　一是為了表達對數學的看法、欣賞數學的美感 　有些題目光從敘述，就能體會到出題老師的用心 　能夠看出出題老師到底想要考什麼，怎麼考 　我很希望自己是這樣的出題老師，用題目來說話 　 　二是為了搞寫題目的人（欸 　看到有人掉進預設陷阱的時候很舒壓（不是 　 　所以我自己出的題目大致上有兩種 　一種是題目本身或是解法很酷的題目 　另一種是挖好坑等人跳的題目 ‧題目範圍？ 　偶爾微妙的超出高中一點點，遠不及競試題。 　儘管我自己會拿超出範圍的技術來出題， 　但我會確認至少有一個高中生看得懂的解法 　不過在不在範圍內就難說了XD ‧系列詳細 　本系列每天晚上會出一篇，直到我手上沒庫存為止 　（但不排除會耍廢忘記出） 　三天之後，如果有空，我會打一篇參考解答（為了 P 幣） 　無論題目難度如何， 　第一個回答正確答案的人，將贈予 100P 　解法不限，用程式爆，網路抄答案，或是神骰大人都行 　歡迎提供任何建議，特別是有關出題方面的。 　可以猜猜看為什麼要這樣出題，或是有什麼學生常見迷思 　有陷阱可以挖一定要告訴我ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.68.12 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589200950.A.487.html
推 TOMOHISA : 推一個！感謝大神分享數學之美05/11 21:32
→ chemmachine : 推05/11 21:50
→ alan23273850: 想借問一下為什麼叫 TC 題05/11 21:53
不 我也不知道可以叫什麼...需要一個名字qw q ※ 編輯: TimcApple (101.12.68.12 臺灣), 05/11/2020 22:53:13
推 chemmachine : 給出一個不太完整的解答05/12 01:28
→ chemmachine : 令y=ax(x-1)(x+1) 旋轉90度可得-x=ay(y-1)(y+1)05/12 01:29
→ chemmachine : 兩式相除消去a可得x^2(x^2-1)+y^2(y^2-1)=005/12 01:29
→ chemmachine : 將y=ax(x-1)(x+1)代入上式並提出公因式可得05/12 01:30
→ chemmachine : 1+(a^2*x^2-a^2)(a^2*x^6-2a^2*x^4+a^2*x^2-1)=005/12 01:31
→ chemmachine : 做代換x^2=t a^2=b代入得05/12 01:32
→ chemmachine : https://reurl.cc/kdnLa3 為一個四次方程，可觀察05/12 01:33
→ chemmachine : b>8-> a^2>8 a必須滿足某些條件才畫得出四點相交圖05/12 01:35
→ chemmachine : 觀察t有四組解因四次方程，且必有兩正根，將t取sqrt05/12 01:36
→ chemmachine : 可得x之四根，取x的第三大之根位在第三象限05/12 01:37
→ chemmachine : 將第三象限積分*4可得全部面積05/12 01:37
推 chemmachine : 第三象限面積為int[-1，x3](ax^3-ax)dx+1*(-x3)+05/12 01:45
→ chemmachine : int[1，a(x_3)^3-ax_3](-ay^3+ay-x_3)dy05/12 01:46
→ chemmachine : x_3為負，為t兩正根開根號出來4個x的根x1x2x3x405/12 01:48
→ chemmachine : 第三大根05/12 01:48
→ algebraic : 想問樓主舊帳號怎麼了?05/12 02:41
推 Vulpix : 最後有一個三次方程繞不掉，答案也並不美觀吔。05/12 05:09
→ TimcApple : 之前有一陣子有點事 一直沒上 ptt 就自己註銷了05/12 07:07
→ TimcApple : 啊 沒注意這個問題 本題稍微嚴格一點05/12 07:10
→ TimcApple : 本題的答案是高中生覺得舒服的樣子XD05/12 07:12
推 alan23273850: 這題多項式係數無限多種，答案真會固定???05/12 08:40
→ TimcApple : 因為有給定三根 實際上只有首項係數未知05/12 09:45
推 chemmachine : 如果有別的差異很大的解法，還滿佩服想出來的人05/12 09:47
推 sunev : 3*sqrt(3/2) ?05/12 09:49
正解 今晚會用電腦轉 100P c大的解法其實只差一步（找到a） 50P 如果還有人給出其他解法 會斟酌給一些
→ TimcApple : 根據圖形變化 很容易確定有唯一解05/12 09:49
推 chemmachine : 喔喔我有想法了~~ 05/12 09:54
推 chemmachine : 想了一下還是解不出簡單形式，等解答好了~~ 05/12 11:09
推 LPH66 : 稍微花了一點時間打成長圖 05/12 11:29
→ LPH66 : https://i.imgur.com/UezasMY.png 05/12 11:29
→ LPH66 : 意外的中間過程連三次式都不用解, 只要解(雙)二次式 05/12 11:34
→ LPH66 : 突然發現 (5) 和 (6) 的合併可以直接這樣接 05/12 11:39
→ LPH66 : 4 u^2 v^2 = u^2 + v^2 = u^4 + v^4 然後解雙二次 05/12 11:40
→ LPH66 : 這樣就省去 (5) 引入的倒數那一步了 05/12 11:40
推 LPH66 : 把這樣接的做法寫詳細在這裡了: 05/12 11:52
→ LPH66 : https://i.imgur.com/GYli0QF.png 05/12 11:52
推 sunev : 我是用mathematica算的 (遮臉) ，不過基本上只要解 05/12 13:19
→ sunev : 二次式沒錯。 05/12 13:19
推 alan23273850: 剛看了一下，要怎麼證明那四個點是切點呢？ 05/12 16:16
→ alan23273850: 應該說，為了讓他們是切點，a 值唯一？ 05/12 16:19
→ TimcApple : 題目要求他們是切點 於是會發現只有一個a符合要求 05/12 16:45
→ alan23273850: 乾乾乾 我沒看到 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點 這句話... 05/12 17:24
推 Vulpix : 如果把ax(x^2-1)叫做f(x)的話， 05/12 17:27
→ Vulpix : 要解的方程挺好看的：f(f(x))=-x,f'(f(x))f'(x)=-1 05/12 17:27
→ alan23273850: 我誤會出題大大 TimcApple 的意思了... 05/12 17:49
→ alan23273850: 原來 根據圖形變化 很容易確定有唯一解 這句是指 a 05/12 17:50
→ alan23273850: 不是指面積 嘔嘔嘔嘔嘔 05/12 17:52
chemmachine, sunev, LPH66 已轉 ※ 編輯: TimcApple (101.12.68.12 臺灣), 05/12/2020 21:27:16
推 chemmachine : 收到。話說我少了切線條件所以一定四次，在我的b可 05/12 21:31
→ chemmachine : 證必等於8，小於8是虛根，大於8，t會有4個以上增根 05/12 21:33
→ chemmachine : 如此x會有4個以上不等於0的根，矛盾。 05/12 21:33