推 TimcApple : 推 05/19 20:26
這一題也很有趣，分享想法和步驟
但是細節懶得寫，也懶得算相關係數。
可設f,g首項係數為1
則有
3g(x) = f'(x) l_1(x) ...(1)
3f(x) = g'(x) l_2(x) ...(2)
其中l_1, l_2為x+?型式之一次式。
然後這個題目就變成微分方程
想法1：
(1)左右微分以後，得到g'=...代入(2)，得到一個g的線性二階ODE
但是這個方法我做不出來。
想法2：
因為做不出來，就微分吧
(1)(2)之微分：
3g'=f''l_1 + f' ...(1')
3f'=g''1_2 + g' ...(2')
再微
3g''=f'''l_1+2f'' ...(1'')
3f''=g'''1_2+2g'' ...(2'')
這時突然有一個現象，那就是f'''=g'''=6，代入(1'')(2'')以後可以反解出f'',g''
再帶入(1')(2')反解出f',g'，最後代回(1),(2)，就解出f,g了
所謂解出f,g是表為l_1, l_2 之齊次3次式，可以分解為3個線性因式的乘積。
事實上其中一個因式已經有了，因此剩下的相當於解二次方程式。
那麼，f,g的3根是來自l_1 ,l_2 的根之定比例分點，故相關係數不變。
這時留下一個問題
那就是根據想法(1)，這是線性二階ODE，要有2個線性獨立解，那另一個解是甚麼？
這時延續微分策略
3g'''=f''''l_1 + 3f''' ...(1''')
3f'''=g''''l_2 + 3g''' ...(2''')
這時發現 f'''' l_1 + g'''' l_2 = 0，可設 f''''=l_2 h, g''''=- l_1 h
(這邊假設l_1 =/= l_2)
則再微分一次可得
3g''''= (f''''l_1)' + 3f''''
-3h l_1 = (h l_2 l_1)' + 3 h l_2
-4 h (l_1+l_2) = h' (l_2 l_1)
這個可以分離變數，解出h=C (l_1 l_2)^-4。
再想辦法對 l_2 h, l_1 h 連續積分4次，便可得到另一組f,g。
不過顯然這組解是無法在l_1, l_2的根上可定義的
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: Problem 6
: f(x), g(x) 皆為三次實係數多項式
: f(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 g(x) 的根
: g(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 f(x) 的根
: 設 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w
: 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相關係數
: 以下圖片僅供參考
: https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg
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: 題目本身就是提示ow o
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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※ 編輯: LimSinE (219.85.29.210 臺灣), 05/19/2020 01:52:10