推 TimcApple : 一個好好的高中題目 被你們理解成這樣XD 05/20 18:03
→ TimcApple : log 項是啥啊XD 05/20 18:04
最後那一段也可以套用在根與係數硬爆的過程上。
是能夠簡化一點計算的。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 05/20/2020 18:31:27
推 TimcApple : 跪了 我的ODE沒學好 看一次跪一次www 05/20 19:34
※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 這一題也很有趣，分享想法和步驟
: 但是細節懶得寫，也懶得算相關係數。
: 可設f,g首項係數為1
: 則有
: 3g(x) = f'(x) l_1(x) ...(1)
: 3f(x) = g'(x) l_2(x) ...(2)
: 其中l_1, l_2為x+?型式之一次式。
: 然後這個題目就變成微分方程
: 想法1：
: (1)左右微分以後，得到g'=...代入(2)，得到一個f的線性二階ODE
: 但是這個方法我做不出來。
如果先不顧慮根的順序，可以假設 l_1(x) = x-w, l_2(x) = x-r。
然後因為 f(x) 是三次多項式，所以假設 f(x) = (x-r)^3 + a(x-r)^2 + b(x-r)。
代入 ODE 後可解得 a = 6(r-w)/5, b = 3(r-w)^2/10。
把 f' 代入 (1) 式可以得到 g(x)。
然後根就都解出來了。再稍微考慮一下大小順序，
s,t,u,v 就都能用 r 和 w 表示出來，那只差計算相關係數了。
不過我本來是用根與係數硬爆的。
: 這時留下一個問題
: 那就是根據想法(1)，這是線性二階ODE，要有2個線性獨立解，那另一個解是甚麼？
也可以用 Froebenius Method 做，既然已經有了一解，那另一解就可以降階做出來。
實際上這個方程的 index equation 解出的兩個 index 是 0 和 1。
(以 x = r 為奇異點。)
此時 index 相差整數，須要擔心是否有 log 項。
還真的有。
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事實上，如果已知 ODE 有發散解的話，
我們可以知道 f 和 g 的多項式解是唯一的。
有了這個前提，將 f(x) 和 g(x) 的圖形繞著 (r,0) 和 (w,0) 的中點旋轉半圈，
會得到完全相同的圖。
也就是說 g(x) = -f(r+w-x)。
所以 u, v 也是由 t, s 兩根旋轉過來的。
不過我不清楚怎麼在開解之前就知道 Froebenius Method 一定有 log 項。
至於 r 和 w 的選擇可以從圖上判斷。
首先可以排除 l_j 是 x-s, x-v 的可能。
然後如果選了 x-r，另一個就只能是 x-w。
(如果選了 x-t，另一個也只能是 x-u。)
最後這一段……好難寫啊。
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