→ TimcApple : LimSimE 50P 已轉 05/20 21:53
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: Problem 6
: f(x), g(x) 皆為三次實係數多項式
: f(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 g(x) 的根
: g(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 f(x) 的根
: 設 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w
: 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相關係數
: 以下圖片僅供參考
: https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg
由於本題問的是相關係數，
因此對圖形平移、伸縮並不影響答案，以下會用到相關技巧。
Solution to Problem 6
<Sol 1>
考慮 f 的兩極值點 a, b 的位置
(case 1) a = u, b = w, 此時 g 的兩極值點都只能對 s, 矛盾
(case 2) a = u, b = v
(case 3) a = v, b = w
其實 case 2 和 case 3 是一樣的，只要交換 f 和 g 就好
不失一般性，設 t 為 f 和 g 的最大根
f: r s t
↓ ↑ ↓ ↑
g: u v w
由相關係數特性，透過平移可設 t = 0
首項係數本來就能隨便設，設 f 的首項係數為 1，g 的首項係數為 3
f(x) = x^3 + bx^2 + cx
f'(x) = 3x^2 + 2bx + c
g(x) = (x + k)(3x^2 + 2bx + c)
= 3x^3 + (3k+2b)x^2 + (2bk+c)x + ck
g'(x) = 9x^2 + (6k+4b)x + (2bk+c)
由上圖可知 g'(x) 的兩根為 r, s，因此不為 t = 0
比較係數可得
6k + 4b = 9b
2bk + c = 9c
b = (6/5)k
c = (3/10)k^2
由相關係數特性，可沿 x 軸伸縮，因此可設 k = 10, b = 12, c = 30
f(x) = x(x^2+12x+30)
g(x) = 3(x+10)(x^2+8x+10)
f 三根為 -6-√6, -6+√6, 0
g 三根為 -10, -4-√6, -4+√6
由相關係數特性，將兩組根的平均移至 0
可得 -2-√6, -2+√6, 4
以及 -4, 2-√6, 2+√6
sum xi yi = 6 + 12√6
sum xi^2 = sum yi^2 = 36
相關係數 = (1+2√6)/6
<Sol 2>
見 LimSimE 和 Vulpix 的回覆
另外據 Vulpix 表示，有根與係數的解法
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