推 TimcApple : 不錯耶 好像也沒很暴力（？ 05/20 22:57
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: ※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: : Problem 6
: : f(x), g(x) 皆為三次實係數多項式
: : f(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 g(x) 的根
: : g(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 f(x) 的根
: : 設 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w
: : 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相關係數
: : 以下圖片僅供參考
: : https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg
: 由於本題問的是相關係數，
: 因此對圖形平移、伸縮並不影響答案，以下會用到相關技巧。
: Solution to Problem 6
: <Sol 1>
: 考慮 f 的兩極值點 a, b 的位置
: (case 1) a = u, b = w, 此時 g 的兩極值點都只能對 s, 矛盾
: (case 2) a = u, b = v
: (case 3) a = v, b = w
: 其實 case 2 和 case 3 是一樣的，只要交換 f 和 g 就好
: 不失一般性，設 t 為 f 和 g 的最大根
: f: r s t
: ↓ ↑ ↓ ↑
: g: u v w
: 由相關係數特性，透過平移可設 t = 0
: 首項係數本來就能隨便設，設 f 的首項係數為 1，g 的首項係數為 3
: f(x) = x^3 + bx^2 + cx
: f'(x) = 3x^2 + 2bx + c
: g(x) = (x + k)(3x^2 + 2bx + c)
: = 3x^3 + (3k+2b)x^2 + (2bk+c)x + ck
: g'(x) = 9x^2 + (6k+4b)x + (2bk+c)
: 由上圖可知 g'(x) 的兩根為 r, s，因此不為 t = 0
: 比較係數可得
: 6k + 4b = 9b
: 2bk + c = 9c
: b = (6/5)k
: c = (3/10)k^2
: 由相關係數特性，可沿 x 軸伸縮，因此可設 k = 10, b = 12, c = 30
: f(x) = x(x^2+12x+30)
: g(x) = 3(x+10)(x^2+8x+10)
: f 三根為 -6-√6, -6+√6, 0
: g 三根為 -10, -4-√6, -4+√6
: 由相關係數特性，將兩組根的平均移至 0
: 可得 -2-√6, -2+√6, 4
: 以及 -4, 2-√6, 2+√6
: sum xi yi = 6 + 12√6
: sum xi^2 = sum yi^2 = 36
: 相關係數 = (1+2√6)/6
: <Sol 2>
: 見 LimSimE 和 Vulpix 的回覆
: 另外據 Vulpix 表示，有根與係數的解法
根與係數就是硬爆。
(x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) = g'(x) = 3(x-r)(x-s)
(x-r)(x-s)+(x-s)(x-t)+(x-t)(x-r) = f'(x) = 3(x-v)(x-w)
由以上兩式可得：
u(v+w) + vw = 3rs
rs + (r+s)t = 3vw
2(u+v+w) = 3(r+s) → u = 1.5(r+s) - (v+w)
2(r+s+t) = 3(v+w) → t = 1.5(v+w) - (r+s)
後面這兩式分別代入前兩式：
1.5(r+s)(v+w) - (v+w)^2 + vw = 3rs
rs + 1.5(v+w)(r+s) - (r+s)^2 = 3vw
兩式相減：
-(v+w)^2 + vw - rs + (r+s)^2 = 3rs - 3vw
→ (r-s)^2 = (v-w)^2
→ s - r = w - v
不妨設 r = 0, s = 1。(不喜歡簡化的同學可以不要簡化。)
改寫原四式：
u(v+w) + vw = 0
t = 3vw
u = 1.5 - (v+w)
t = 1.5(v+w) - 1
得 t = 3vw = -3u(v+w) = -3( 1.5 - (t+1)/1.5 )(t+1)/1.5
→ 4t^2 - 4t - 5 = 0
→ t = (1 + √6)/2 (負不合，因 t > 1。)
然後也沒必要確切算出 u,v,w，
要算相關係數可取 u = 0, v = t-1, w = t 作計算。
分母 2 不好看，還可以全部乘以 2。
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