推 TimcApple : 推 就是向心力和速度都知道 曲率半徑就出現了 05/31 01:30
→ Vulpix : 拋物線示意圖，重點是三條紅線段都一樣長。 06/05 17:19
: Problem 20
: 原本搞出了曲率半徑 R
: (G0, G1, G2 在切點處的曲率半徑皆相同)
: 但那個太誇張了 只好把 R 的條件直接寫出來
: 結果又變的太容易了qw q
單純想談曲率半徑XD
其實高中物理意外(又不意外)地能把二次曲線的曲率半徑算得很清楚。
最基本的式子就是：法線加速度 = 向「心」加速度 = v^2/曲率半徑。
這個心是曲率中心－－曲率圓的圓心。
先說說拋物線。
高中物理接觸到的拋物線有兩類：
1. 拋體軌跡。
2. 拋物面鏡。
從拋體軌跡方程式 y = x*tanθ - g*x^2/2(v*cosθ)^2 能看出
頂點的曲率半徑 = 速率^2/法線加速度量值 = 領導係數的倒數的絕對值的一半。
所以 4c(y-k) = (x-h)^2 這種拋物線的頂點處的曲率半徑就是 2|c|。
這個事實也可以從拋物面鏡看出來，畢竟拋物面鏡的球面鏡近似，
其球心正好在主軸上與頂點相距兩倍焦距處。
其他點的曲率半徑，一樣可以透過軌跡方程做出來，
切線方向要利用速度的時間函數式來決定。
再來說到橢圓，主要只看頂點處的曲率半徑。
一般的切線方向比較麻煩一點，但透過伸縮變換，
可以從圓的切線做出橢圓的切線。
物理課上最有名的橢圓當然就是克卜勒第一定律了。
記太陽質量與行星質量各為 M, m，
已知近日距 r 和遠日距 R 的話，總力學能 = -GMm/(r+R) = -GMm/長軸長。
從此可以計算出近日點的行星速率 = √2GM(1/r - 1/(r+R))，
一樣利用法線加速度的公式，
近日點處的曲率半徑 = 2GM(1/r - 1/(r+R))/(GM/r^2) = 2Rr/(r+R)，
這正是 半短軸長^2/半長軸長 這條公式。
另外短軸端點的曲率半徑也可以類似地計算，得 半長軸長^2/半短軸長。
最後的雙曲線比較尷尬一點，
畢竟物理課上比較算是有用到雙曲線的地方在點波源的干涉圖形。
但是這並不容易與彎曲聯想在一起。
所以此處用了一個類克卜勒定律：有些星球的軌跡會是雙曲線。
質量 m 的星體近日距是 d，此時速率為 v，飛到遠處時以等速 u 運動。
因此力學能 = 0.5mu^2 = 0.5mv^2 - GMm/d，
整理得 v^2 - u^2 = 2GM/d。
另外根據角動量守恆，星體遠離的直線與太陽之間的距離(半共軛軸長b) = vd/u。
採用慣用記號：焦距c、半貫軸長a。
可以列出方程：c-a = d, c^2-a^2 = b^2。
解得 a = (b^2-d^2)/2d = (v^2-u^2)d/2u^2 = GM/u^2。
則頂點處的曲率半徑 = v^2/(GM/d^2) = (vd/u)^2/a = b^2/a。
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雖然打了這麼多，不過只要有光學性質和一點極限的概念，
頂點處的曲率半徑都能簡單求得。
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