推 allenyang : 感謝!! 06/02 23:34
※ 引述《allenyang (每個女孩都有首主題曲)》之銘言：
: 最近算題目
: 算到這裡
: (4/100)*[ln(40)-ln(370-X)]=40-(370-X)
: 竟然解不出來
: 請問有人可以幫忙嗎
: 怎麼乍看之下好像很簡單
: 結果竟然無從下手
: 是不是有特殊解法??
4/100 = 1/25 乘到右邊去整理可得 ln(370-x) - 25(370-x) = ln(40) - 1000
或者把 370-x 寫成 y 就是 ln(y) - 25y = ln(40) - 1000
基本上這裡就可以猜 y = 370-x = 40 了 -- 不過這只是其中一解而已
====
一般來說, 有 x 的對數和單獨 x 一起出現的方程式
大多數都需要用 Lambert W 函數來表示解
https://tinyurl.com/yd9vzuqy
做法多半是將式子變形, 變成有 x*e^x 的形式之後代 W 函數解出 x
應用在這一題的話, 同樣令 y = 370-x, 整理成上式後兩邊取指數
得到 y * e^(-25y) = 40 * e^(-1000)
兩邊乘以 -25 得 -25y * e^(-25y) = -1000 * e^(-1000)
這樣兩邊都是 x*e^x 的形式
這對我們是好事, 因為有機會可以把 W 函數解出來
不過這裡不能直接套, 因為右邊是負數, 兩種 W 函數都能取
比較容易的是取 W_{-1} 可以得到 W_{-1}(-1000 * e^(-1000)) = -1000
這樣就是 -25y = -1000 得到 y = 40
若取 W_0 的話, 右邊這數其實是個絕對值很小的負數
因此再加上 W_0(x) 在 0 的微分是 1 (這從維基百科裡列的泰勒展開式易得)
可以知道在絕對值小時 x ~ W_0(x)
所以這裡會得到 -25y ~ -1000*e^(-1000) 即 y ~ 40*e^(-1000), 這是另一(近似)解
所以原式有個簡單的 370-x = 40 即 x = 330
以及一個不那麼容易找到的 370-x = 一個小正數 即 x ~ 370
====
題目會出成這樣我猜可能出題者沒有意識到這個另解的存在
有的話應該會在式子的細節上做點手腳讓代 W 函數的數字是正數
這樣就不能代 W_{-1} 而只有 W_0, 就不會出現這種"奇怪"的另解
--
01010011 01101110 01010110 01111010 01100100 01000011 01000010 01001110 011000
10 00110010 00110101 01110000 01100001 00110010 01000101 01110101 01001001 010
00101 01001110 01101000 01100010 01101001 01000010 00110101 01100010 00110011
01010101 01100111 01100001 01000111 01010110 01101000 01100011 01101001 010000
10 01110100 01011010 01010100 00111000 01100111 01010010 01000111 00111001 011
10010 01100001 01010011 01000010 01000101 01100010 00110010 01110100 01110000
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.194.100 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1591090065.A.D0E.html
※ 編輯: LPH66 (123.195.194.100 臺灣), 06/02/2020 17:32:56