Re: [其他] 代數結構的體(fields)跟場論的場一樣嗎?

[davidwales (cluster)]

※ 引述《davidwales (cluster)》之銘言：
:  代數結構有所謂的 群環體
:  我發現 體 (fields)也是某種可以描述系統對稱性的代數結構
:  體 (fields) 跟物理學的"場" (ex:電磁場 量子場) 等等
:  是一樣或是概念上類似的的東西嗎?
:  感謝!



我自己找了一下相關資料, 分享一下, 也請版友指證




1. 數學上

我們可以定義一個向量空間在一個體上 (define a vector space over a field)


2.物理'向量場'(vector field)則可被定義為 一個module在ring上的元素

module 是一個廣義化的vector space, 而ring是條件鬆綁之後的體

所以有兩種定義:


              module          在 ring  上 (物理的向量場)


              vector space    在 field 上 (數學系的定義)


結論: 數學所謂的定義一個向量空間在一個體上和

物理的向量場(vector field)的定義似乎不完全一樣,但概念上是非常接近的

不過版友似乎指向他們是不同的

版友意思有沒有可能是概念上是相同的,但嚴格定義是有些微差異這樣?





因為物理場 有分 純量場 向量場 張量場

如果 物理的'向量場' 和 數學的 '向量空間被定義在一個體(field)上' 是90%等價的

那其實已經很大程度上解決了名詞定義上的可能混淆狀況

當然還需要在分析 純量場和張量場的例子 但我認為不會太麻煩

我認為能夠釐清這兩者差別是非常有學術價值的

希望大家能指點一下迷津和分享討論!

萬分感謝!!!






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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.175.81.240 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1592034259.A.EC0.html
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:46:02
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:47:32
→ Ricestone   : 你直接看實例就知道大概有多麼不一樣了
→ Ricestone   : 你講的那部份並不是完整定義，你這樣就像是把兩個
→ Ricestone   : 不同的東西只取一小部份來看，然後說有兩句話很像
→ davidwales  : 或是這麼說吧  物理的向量場改叫做module ring
→ davidwales  : 會不會比較不會造成名詞上的誤導?
→ Ricestone   : 兩個就不同領域的，沒什麼好誤導啊
推 chemmachine : 我之前有推文有說他們有相關。你點向量場wiki
→ chemmachine : 一開始就有向量微積分，向量微積分裡面就有講用向
→ chemmachine : 量空間來設計。高中重力，電磁學都有用到合力等向
→ chemmachine : 量合成概念。大一大二的課程也會有點相關，之後
→ chemmachine : 的越深大概會越來越偏離。就像你看到向量空間會知道
→ chemmachine : 數學的，看到場會知道是物理的。高中物理化學可以
→ chemmachine : 放在數學一起念，當數學建模就好。
推 JI1         : sars flu coronavirus
噓 recorriendo : 向量場不是單純指向量空間
關於你推文的這個部分
我內文有提
→ recorriendo : 你這裡所謂分享 不就是任何一本代數就有的內容？
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 19:56:42
→ recorriendo : 所以版友叫你先去看書啊 連這些最基本的定義都沒搞
→ recorriendo : 清楚 再怎麼討論都不會有交集
推 wohtp       : 孔子顯然說錯了。思而不學的人不會殆，周圍的人才殆
→ wohtp       : 數學我不說，能不能請原po先讀過一點物理的場？
→ wohtp       : 物理的場本質是從時空間映射到某些集合上的mapping
→ wohtp       : 。我在原po的敘述裡面完全看不到這個認知。
→ davidwales  : wohtp 你講的映射 可否跟我內文說的module在ring上
→ davidwales  : 這件事做出一些連結?
→ davidwales  : 或是我換個說法  物理的向量場就是 module映射到
→ davidwales  : ring上的這個操作過程
→ davidwales  :  a vector space over a field 這在數學系有沒有比
→ davidwales  : 較簡便的說法呢?
→ Ricestone   : 我仔細看你內文，發現你講的根本不是物理場
→ Ricestone   : 你知道over a field到底是什麼意思嗎？
→ davidwales  : over a field 就是從原本的要素中篩選出符合CANI的
→ davidwales  : 要素 C:commutative, A:associative,I:identity
→ davidwales  : N: neutral element
→ Ricestone   : 不是，是用這個field構造出的新代數結構，所以才用
→ Ricestone   : over表達
→ davidwales  : https://youtu.be/4l-qzZOZt50?t=183
→ davidwales  : 這個影片講得很清楚
→ Ricestone   : 以你的說法，你能說出一個電場的module長什麼樣嗎？
→ davidwales  : ricestone講的定義也沒有錯
→ davidwales  : 電磁場嗎?
→ Ricestone   : 抱歉，你可以跟我說那影片哪裡有說over a field是
→ davidwales  : 我是引述quora的一個會員講的
→ davidwales  : https://tinyurl.com/y7rj6nht
→ Ricestone   : 篩選什麼嗎？你的給我的時間只是講field
→ Ricestone   : 數學本身就有vector field的概念了，微分方程都在講
→ Ricestone   : 這東西
→ Ricestone   : 那回答就是在講兩種東西概念不一樣
→ Ricestone   : 重點是，你把over a field的"vector space"跟
→ Ricestone   : over a ring的"module"比在一起，但你沒發現兩個位
→ Ricestone   : 置不同嗎？
→ Ricestone   : 下面可以說是vector field，但上面的field是被over
→ Ricestone   : 的東西
這邊解釋一下

我內文認為的相似之處在於

物理系的 "vector field := a module over a ring"

這件事情跟數學系的

"a vector space over a field"

我認為很像

我特別用紫色標出我認為是雙方概念接近的部分

※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 00:42:43
→ Ricestone   : 所以你現在是認為"a vector space over a field"是
→ Ricestone   : 一個數學上的field嗎？
→ davidwales  : "a vector space over a field" 這是數學系的講法
→ davidwales  : 自然那個fields是代數的那個'體'
→ Ricestone   : 我跟你說，那就是vector space，不是field
→ Ricestone   : 就像a man in a red cloth，是man，不是red cloth
→ wohtp       : 我直接跟你講，物理的vector field不管怎麼理解都不
→ wohtp       : 是a module over a ring。
→ wohtp       : 最簡單的向量場例子至少是module-valued function
→ wohtp       : defined on a manifold
→ wohtp       : 這已經不是拿蘋果比橘子了。這是明說要拿蘋果比橘子
→ wohtp       : 但拿出來的「蘋果」是顆大西瓜。
推 TimcApple   : 代數結構的 field 任兩個元素有除法（分母不為0
→ TimcApple   : 向量場拿兩個向量 我看你怎麼除XD
→ TimcApple   : 任兩個向量場也不能除 這跟代數的 field 怎麼比
→ TimcApple   : 另外 向量場是 function 代數的體是 structure
→ TimcApple   : 至少拿所有向量場的集合來比吧
→ TimcApple   : 但這東西也不是 field 理由同上因為沒除法
我覺得我的疑問在這個影片有得到一些解惑
建議大家可以看看
https://tinyurl.com/ycch2f42
簡單說
module over a ring 是要處理一些特殊manifold上沒有basis的問題
比方說 S2(2維球面)
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:51:20
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:53:18
→ wohtp       : 提示：他這裡只講向量，沒有場
推 WINDHEAD    : 向量場s是可以理解成 module over coordinate ring
→ WINDHEAD    : 但是英文 vector field 的 field 單純是常見英文
→ WINDHEAD    : 應做baseball field的field解
→ WINDHEAD    : 跟代數結構的 field 沒有關係XD
→ WINDHEAD    : 就像 Lie algebra 的 Lie 是姓氏  不是說謊代數
→ davidwales  : https://youtu.be/UbQS40KHkH0?t=133
→ davidwales  : 這個影片已經解決我這個討論串90%疑惑,感謝版友的
→ davidwales  : 參與和討論  小弟獲益匪淺
→ davidwales  : a smooth vector field 是一個C^inf(M)-module
→ davidwales  : 並不是a vector space on a field, 因為很多時候
→ davidwales  : a vector S on a field會違反hairy ball theorem.
→ davidwales  : 所以 為了讓物理場不違反hairy ball theorem,我們才
→ davidwales  : 需要把它重新定義成 module on a ring, 或是
→ davidwales  : C^-inf(M)-module;但 我個人認為vector space on a
→ davidwales  : field和 a module on a ring概念上是接近的
※ 編輯: davidwales (1.175.94.41 臺灣), 06/15/2020 14:40:55
→ davidwales  : 但儘管概念上接近 a vector space on a field 的確
→ davidwales  : 和 module on a ring 有著差異性,至於是否只差hairy
→ davidwales  : ball theorem,我就不是很確定 但我想我已經滿足了
推 KWire       : https://i.imgur.com/baFbs3U.jpg
→ KWire       : Dummit 的代數課本上面已經有寫了啊
推 KWire       : R 是 field 的時候上面的 module 跟 VS 是同一件事