Re: [中學] periodic?

[LPH66 ( )]

※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言：
: 若 f：R→R 滿足 f(x+1) + f(x-1) =√2 f(x)
: 試證 f 為週期函數

: 推 LPH66       : 題目似乎有誤: f(x) = [(1+√3)/(√2)]^x 滿足題設   06/22 18:20
: → LPH66       : 但這是指數函數顯然不是週期函數                    06/22 18:21
: → musicbox810 : 請問LPH大是怎麼求出來的?                          06/22 19:08
: → musicbox810 : 想起來了，是常係數遞迴                            06/22 19:24
: → TOMOHISA    : 真的耶，看來題目漏了條件，感謝L大                 06/22 19:27
: → yueayase    : 難怪我解不出來(誤                                 06/22 20:03
: 推 Vulpix      : 要解出週期函數也簡單：把那個減法改成加法。題目是  06/22 20:08
: → Vulpix      : 出錯了吧。                                        06/22 20:08
: → musicbox810 : V大可以試解一下改成+後的題目嗎?                   06/22 20:19
: → musicbox810 : 想出來了,特徵數為複數                             06/22 20:31
: → TOMOHISA    : 請問改成+號要怎麼證明？                           06/23 06:19
從特徵數下去推的話, 兩個特徵數是 (1+-i)/√2

它們是正負 45 度的單位複數, 也就是 1 的複 8 次根, 所以 8 次方會回到 0 次方

這樣就能簡單得到 f(x+8) = f(x) 的推測

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如果要直接證明的話可以將關係式移位重疊

f(x+2) + f(x)          = √2 f(x+1)
         f(x) + f(x-2) = √2 f(x-1)  (+
-------------------------------------
f(x+2) + 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) + f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x)

所以有 f(x+2) + f(x-2) = 0, 或者移位一下是 f(x+4) + f(x) = 0

那麼 f(x+8) + f(x+4) = 0 = f(x+4) + f(x) 消去得 f(x+8) = f(x) 得證

這個技巧是因為我們的目的是要找出一個 f(x+k) = f(x)

但原關係式只和三個間隔 1 的函數值有關

要把這個間隔拉大才能嘗試去找所要的 k

那因為題目設計的關係, 拉大到兩倍間隔就能把連在一起的三個函數值中的一個給消掉

接下來要找出週期就容易了

(會這樣的原因還是第一段提到的, 特徵值是 1 的複 8 次方根的關係)

====

同一招如果用在 - 的題目的話

f(x+2) - f(x)          = √2 f(x+1)
         f(x) - f(x-2) = √2 f(x-1)  (-
-------------------------------------
f(x+2) - 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) - f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x)

會得到 f(x+2) + f(x-2) = 4f(x)

再一次會得到

f(x+4) + f(x)          = 4f(x+2)
         f(x) + f(x-4) = 4f(x-2)  (+
----------------------------------
f(x+4) + 2f(x) + f(x-4) = 4(f(x+2)+f(x-2)) = 4(4f(x)) = 16f(x)

會一直消不太掉

究其原因則是因為 - 的題目的特徵值是 (1+-√3)/√2, 絕對值不是 1

所以高次方上去的數值會被絕對值大於 1 的特徵值 (1+√3)/√2 拉開越變越大

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至於實際的函數例子的話

如果把這兩個複特徵數寫成極式, 遞迴的公式解就可寫為

{αcos[(π/4)x]+βcos[(-π/4)x]} + i {αsin[(π/4)x]+βsin[(-π/4)x]}

若要符合原函數是 R→R 可取α=β, 這樣虛部會消失

再改寫 α+β=C 即可得到函數 f(x) = C*cos[(π/4)x] 滿足 (改成 + 的) 原關係式

可以注意到原關係式只對間隔為整數的函數值設下條件

也就是說函數並不一定整條都是同一個 C*cos[(π/4)x]

但間隔為整數的函數值因為關係式限制只會在同一條上

因此我們不能用特徵數解出來的函數去證明原函數是週期 (因為不止這些函數滿足條件)

只能由上面第二段這種由關係式推出來的關係去證明

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推 Vulpix      : 特徵值是解R/Z上一個coset上的方程，每個coset解一
→ Vulpix      : 次。然後找週期的最大公因數。
→ LPH66       : 嗯, 最後幾行其實就是說每個 coset 可以取不同解
推 TimcApple   : 事實上 若 f 維持原題目條件 且 f 為連續週期函數
→ TimcApple   : 則 f 只能是 0 XD
推 TOMOHISA    : 感謝L大精湛的解釋
→ musicbox810 : 如果是加上連續可微 是否就是解出來的cos函數?
→ musicbox810 : 一個coset上的方程，是什麼意思?
→ musicbox810 : 用特徵值解這種方程,沒有唯一性嗎?
推 Vulpix      : 連續可微不夠。
→ musicbox810 : 可以舉例嗎?