推 Vulpix : 啊，對，是最小公倍數。說錯了。 06/25 01:03
推 musicbox810 : 謝謝LP大，我消化一下，感謝詳細的解釋 06/25 12:35
※ 引述《LPH66 ( )》之銘言：
: 至於實際的函數例子的話
: 如果把這兩個複特徵數寫成極式, 遞迴的公式解就可寫為
: {αcos[(π/4)x]+βcos[(-π/4)x]} + i {αsin[(π/4)x]+βsin[(-π/4)x]}
: 若要符合原函數是 R→R 可取α=β, 這樣虛部會消失
: 再改寫 α+β=C 即可得到函數 f(x) = C*cos[(π/4)x] 滿足 (改成 + 的) 原關係式
: 可以注意到原關係式只對間隔為整數的函數值設下條件
: 也就是說函數並不一定整條都是同一個 C*cos[(π/4)x]
: 但間隔為整數的函數值因為關係式限制只會在同一條上
: 因此我們不能用特徵數解出來的函數去證明原函數是週期 (因為不止這些函數滿足條件)
: 只能由上面第二段這種由關係式推出來的關係去證明
: 推 Vulpix : 特徵值是解R/Z上一個coset上的方程，每個coset解一 06/23 17:54
: → Vulpix : 次。然後找週期的最大公因數。 06/23 17:54
: → LPH66 : 嗯, 最後幾行其實就是說每個 coset 可以取不同解 06/23 18:08
: → musicbox810 : 如果是加上連續可微 是否就是解出來的cos函數? 06/23 23:55
: → musicbox810 : 一個coset上的方程，是什麼意思? 06/23 23:56
: → musicbox810 : 用特徵值解這種方程,沒有唯一性嗎? 06/23 23:57
: 推 Vulpix : 連續可微不夠。 06/24 01:50
: → musicbox810 : 可以舉例嗎? 06/24 02:44
原題目的關係式是對間隔 1 的函數值之間的關係
我們把它當離散遞迴方程在解時其實只解了例如 x \in Z (所有整數時) 的取值
對於其他每一個 R/Z 的 coset 我們其實都可以解一次同樣的遞迴方程
然後把所有這些狀況各選一個合併起來就能得到一個符合條件的函數
(這正是我在第一篇文章的推文
將離散遞迴解出來的通式直接把整數變數 n 換成實數變數 x 來說它滿足條件
這個「換成實數變數」的動作其實就是對每個 coset 都選取長得一樣的函數出來而已)
這裡其實也是一樣的
也就是說, 我可以對不同的 coset 選取完全不一樣的函數
這並不影響全部合起來時的函數是不是解
(例如對整數選 C=1, 對半整數選 C=-1, 對整數加 1/3 選 C=42, 等等等等
然後再全部合起來這樣也可以)
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Vulpix 說的取最小公倍數 (不是最大公因數 XD)
就只是最基本的讓所有週期都滿足的做法而已
這個題目裡碰巧所有解的週期都是 8 (等一下會看到所有解長怎樣)
因此不論怎麼選, 所求函數的週期都會是 8
但如果真要從這裡做
就得真的把我這兩篇解函數的內容 (含下面那一段) 全部重述一次才能得到週期是 8
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說起來, 上面寫的 C*cos[(π/4)x] 其實還不是 (在一個 coset 上的) 所有解:
通式整理一下可以寫成這樣
f(x) = (α+β) cos[(π/4)x] + i (α-β) sin[(π/4)x]
要讓這函數的值域都是實數並不只有 α=β 一個方法
其充份必要條件是 α+β 是實數且 α-β 是純虛數
(考慮 x=0 和 x=2 的函數值就能得到必要性, 充份性顯然)
那整理疊合一下之後就會得到 (在一個 coset 上的) 所有解是 A*cos[(π/4)x+θ]
其中 A 和 θ 是兩個常數 (它們可以用 α,β 表示, 這裡就略過)
(對, 這兩個常數是故意用 A 和 θ 當名字的 XD)
那如果真的要寫出所有解的話
每個 coset 都可以取它自己想要的 A 和 θ
若取 {x} (x 的小數部份) 做為 R/Z 的 coset 的代表元素的話
A 和 θ 就能寫成一個 [0,1)→R 的函數
那麼所有的解就能寫成 f(x) = A({x})*cos[(π/4)x+θ({x})]
這函數能夠長怎樣就隨各人想像了
要連續可微也不難: 當 A 和 θ 重覆到整個 R 的圖形都是連續可微時這函數也就會是
這裡就給一個簡單的「搞怪」例子: A 和 θ 都取 cos(2πx)
(可以看到把 cos(2π{x}) 重覆到整個 R 就是 cos(2πx), 所以我就寫成這樣)
這樣得到的 cos(2πx)cos(πx/4+cos(2πx)) 也符合原題條件, 而且顯然連續可微
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