推 Beiloin : 謝謝!看懂了 還以為有什麼神奇的餘式定理代值 07/11 01:31
http://i.imgur.com/8mapn1H.jpg
a(n+1) = (a(n)-1+1)^2 (a(n)-1)^2+2(a(n)-1)+1 a(n)-1 1
------------ = ---------------------- = ------- + 1 + ---------
2(a(n)-1) 2(a(n)-1) 2 2(a(n)-1)
=> (a(n+1)-1) = (a(n)-1) 1
-------- + ---------
2 2(a(n)-1)
令b(n) = a(n)-1 => b(n+1) = b(n)/2 + 1/2b(n), b(1) = A-1
由算幾不等式,
b(n+1) = [b(n) +1/b(n)]/2 >= √[b(n)*1/b(n)] = 1 => b(n+1) > =1 for all n in N
算幾等號成立時 b(n) = 1/b(n) => b(n)^2 = 1 => b(n) = ±1 => a(n) = 0 or 2
因為a(1)=A>2 所以顯然等號不可能成立 i.e b(n+1) = a(n+1)-1 > 1 for all n in N
故 a(n+1) > 2 for all n in N 及 a(1) = A > 2
所以 a(n) > 2 for all n in N => 選(B)
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再來,觀察 b(n+1)/b(n) = [1+1/b(n)^2]/2
因為 b(n) = a(n)-1, a(n) > 2 for all n in N,所以 b(n) > 1 for all n in N
則 1/b(n)^2 < 1 => b(n+1)/b(n) < (1+1)/2 = 1 => b(n+1) < b(n) for all n in N
故 a(n) = b(n)+1, n>=1 為單調遞減序列 => 選(E)
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至於(D),舉反例 A=3 => b(1)=2 => b(2) = (2+1/2)/2 = 5/4
=> a(2) = b(2)+1 = 9/4 = 2 + 1/4 < 2+ 1/2^(2-1)= 2 + 1/2
※ 編輯: yueayase (218.166.138.78 臺灣), 07/11/2020 02:01:51
※ 編輯: yueayase (218.166.138.78 臺灣), 07/11/2020 04:05:01
推 Beiloin : 再次感謝y大寫的這麼清楚易懂,以為這題有什麼一般 07/11 09:21
→ Beiloin : 項可以證,原來要一個個選項去match 07/11 09:21