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※ 引述《Beiloin (哈士奇)》之銘言: : 準備考APX了 : 解了一下類題 : 如圖 : http://i.imgur.com/8mapn1H.jpg
: http://i.imgur.com/sGwWPAq.jpg
: 不知道這兩題有沒有神人能幫忙解答@@ : ----- : Sent from JPTT on my Realme RMX1851. http://i.imgur.com/sGwWPAq.jpg
用長除法or綜合除法觀察: 11 10 9 8 7 6 a + b + 0 + ...................................... + 1 | 1 + a | 1 0 + a | a ----------------------------------------------------------| a |(a+b) +a (a+b) | a+b 1 (a+b) | -----------------------------------------------------------| (2a+b)|(a+b) | 2a+b 2 (2a+b) (2a+b) | -----------------------------------------------------------| (3a+2b) (2a+b) | 3a+2b 3 (3a+2b) (3a+2b) | ------------------------------------------------------------ (5a+3b) (3a+2b) 可觀察出做第k層綜合除法後會有 F(k)a+F(k-1)b F(k-1)a+F(k-2)b F(k)為費氏數列 F(0) = F(1) = 1 => 當消到剩x^2項時 F(9)a+F(8)b F(8)a+F(7)b + 1 | F(9)a+F(8) F(9)a+F(8)b + F(9)a+F(8)b| -------------------------------------------------------------------- F(10)a+F(9)b + F(9)a+F(8)b+1 因為x^2-x-1為因式 所以 F(10)a+F(9)b = 0 F(9)a+F(8)b +1 = 0 k | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ---------------------------------- F(k)| 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 => 89a+55b = 0 ---(1) 55a+34b = -1 ---(2) (1)*55-(2)*89 => (3025-3026)b = 89 所以 b = -89 Remark: https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_sequence Cassini's identity: F(n)^2-F(n+1)F(n-1) = (-1)^n 知道這公式,在剛剛加減消去法時: F(9)^2-F(10)F(8) = (-1)^9 = -1 就不用硬乘了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.166.138.78 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1594401651.A.1BD.html
Beiloin : 謝謝!看懂了 還以為有什麼神奇的餘式定理代值 07/11 01:31
http://i.imgur.com/8mapn1H.jpg
a(n+1) = (a(n)-1+1)^2 (a(n)-1)^2+2(a(n)-1)+1 a(n)-1 1 ------------ = ---------------------- = ------- + 1 + --------- 2(a(n)-1) 2(a(n)-1) 2 2(a(n)-1) => (a(n+1)-1) = (a(n)-1) 1 -------- + --------- 2 2(a(n)-1) 令b(n) = a(n)-1 => b(n+1) = b(n)/2 + 1/2b(n), b(1) = A-1 由算幾不等式, b(n+1) = [b(n) +1/b(n)]/2 >= √[b(n)*1/b(n)] = 1 => b(n+1) > =1 for all n in N 算幾等號成立時 b(n) = 1/b(n) => b(n)^2 = 1 => b(n) = ±1 => a(n) = 0 or 2 因為a(1)=A>2 所以顯然等號不可能成立 i.e b(n+1) = a(n+1)-1 > 1 for all n in N 故 a(n+1) > 2 for all n in N 及 a(1) = A > 2 所以 a(n) > 2 for all n in N => 選(B) ----------------------------------------------------------------------------- 再來,觀察 b(n+1)/b(n) = [1+1/b(n)^2]/2 因為 b(n) = a(n)-1, a(n) > 2 for all n in N,所以 b(n) > 1 for all n in N 則 1/b(n)^2 < 1 => b(n+1)/b(n) < (1+1)/2 = 1 => b(n+1) < b(n) for all n in N 故 a(n) = b(n)+1, n>=1 為單調遞減序列 => 選(E) ---------------------------------------------------------------------------- 至於(D),舉反例 A=3 => b(1)=2 => b(2) = (2+1/2)/2 = 5/4 => a(2) = b(2)+1 = 9/4 = 2 + 1/4 < 2+ 1/2^(2-1)= 2 + 1/2 ※ 編輯: yueayase (218.166.138.78 臺灣), 07/11/2020 02:01:51 ※ 編輯: yueayase (218.166.138.78 臺灣), 07/11/2020 04:05:01
Beiloin : 再次感謝y大寫的這麼清楚易懂,以為這題有什麼一般 07/11 09:21
Beiloin : 項可以證,原來要一個個選項去match 07/11 09:21