Re: [中學] 相交的格子點個數

[TimcApple (肥鵝)]

※ 引述 《TOMOHISA》 之銘言：
: 請問這題：求平面5x-y-z=15與球面x^2+y^2+z^2=1997相交圖形的所有格子點個數。答案
: :8個
: 我試著消去z，得到一個二元二次式：
: 13x^2-5xy+y^2-75x+15y-886=0，
: 但是不知道怎麼接下去求這個不定方程式，
: 還是應該用其他方法解呢？
: 


設 u = y+z, v = y-z
則平面 5x - u = 15, 即 u = 5(x-3)
球面 2x^2 + u^2 + v^2 = 3994

總覺得有更好的解法 但一直做不出來 以下暴力解

v^2 = 3994 - 2x^2 - u^2
    = -27 x^2 + 150 x + 3769

由配方可得 -9 <= x <= 14

考慮餘數可得
x != 1, 4 (mod 5)
x != 0, 2, 4 (mod 7)
x != 0, 8, 9, 10 (mod 11)
（mod 8 和 9 做過了 沒路用）

因此 x 可能為 -8, 3, 5, 12, 13
u = -55, 0, 10, 45, 50
v^2 = 841, 3976, 3844, 1681, 1156
v = +-29, (不合), +-62, +-41, +-34

由於 u, v 奇偶一致 因此 (x, y, z) 共有 8 組整數解


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推 TOMOHISA    : 感謝t大~