推 TOMOHISA : 感謝V大~07/17 15:53
推 alan23273850: 第二行到第三行感覺需要多做說明...07/17 16:27
其實還是需要一點點極限的概念。
但是本質和後面討論直線斜率差不多。
※ 編輯: Vulpix (1.160.35.63 臺灣), 07/17/2020 18:20:42
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言：
: 設f(x),g(x),h(x)都是實係數多項式，
: 且滿足對任意的實數x,y都有：
: (x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2 <= h(y) <= (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2
: 求所有可能的f(x),g(x),h(x)
:
先隨便固定一個 x 來看，
那麼原式可以看成：y 的首一二次式 ≦ h(y) ≦ y 的首一二次式
同除以 y^2，再令 y→∞，得 lim h(y)/y^2 = 1。
所以 h(y) 是 y 的首一二次式。
設 h(y) = y^2 + ay + b，
則 (x-y)f(x) + x^2 + ax + b - xy + y^2 ≦ y^2 + ay + b，
整理一下，得 (x-y)( f(x)+x+a ) ≦ 0。
左式是 y 的最高一次式，圖形是直線，所以斜率是 0，
即 f(x) = - x - a，
g(x) 的解法亦同。
所以 f(x) = g(x) = -x-a, h(x) = x^2+ax+b。
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