[中學] 尺規作圖五邊形

[harry921129 (哈利~~)]

        突發奇想的一個問題

        請問有辦法用尺規作圖做出

        每一個內角都是108度且每一邊都不等長的五邊形嗎

        甚至七邊形..........?  thx~~

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推 atxp4869    : 高斯做出過正17邊型
推 reye        : http://www.mathland.idv.tw/fun/rn.htm
推 hwanger     : 樓上的網址不錯 更進一步我們有Gauss–Wantzel定理
→ hwanger     : 他的敘述是 一個正n邊形可以被尺規作圖 若且唯若
→ hwanger     : n的質因數只能有 2 或 費馬質數 並且n的所有奇質因
→ hwanger     : 數次方只能為一
推 hwanger     : 這裡所謂的尺規作圖是指無記號的直尺及一般的圓規
→ hwanger     : 也就是我們一般代數上所認知的尺規作圖
→ hwanger     : 針對正七邊形 我們有特別的尺規作圖作法
→ hwanger     : 可參照
→ hwanger     : https://en.wikipedia.org/wiki/Heptagon 的1.2節
→ hwanger     : 1.2Construction 的部份
推 hwanger     : 相關的概念有Pierpont prime 在以下
→ hwanger     : https://en.wikipedia.org/wiki/Pierpont_prime
→ hwanger     : 的 第4節 Polygon construction 可以找到
推 hwanger     : 突然發現原po說的是每一邊都不等長的五邊形
→ hwanger     : 答案是可以的 你只要作出正5邊形後 再對每一邊作適
→ hwanger     : 當的平行線即可 至於滿足類似條件的n邊形其實就等價
→ hwanger     : 於 作正n邊形 所以就回到Gauss–Wantzel定理
→ harry921129 : 由正五邊形 做適當平行線,根據平行線截比例線段
→ harry921129 : 做出來的五邊形雖然每個角度都相等.但也會有邊相等
推 LPH66       : https://i.imgur.com/IQGr3T1.png 簡單構造了一下
→ LPH66       : 啊, AB'HE 那行的 DH 線段打成 DG 了
推 hwanger     : 感謝L大大 因為我也看不懂ha大大在說什麼 正在建構
→ hwanger     : 一個反例 A=(0,0), B=(cos(3pi/5),sin(3pi/5))
→ hwanger     : C=B+10(cos(pi/5),sin(pi/5))
→ hwanger     : D=C+3(cos(-pi/5),sin(-pi/5))=(D0,D1)
→ hwanger     : E=(D0+D1cot(3*pi/5),0)
→ hwanger     : 這五個點是constructible 原本是想像L大大那樣畫圖
→ hwanger     : 比大小 覺得輸出圖形很麻煩 就想說算一個反例就好了
→ hwanger     : 基本上就是沿L大圖形的想法 就可以去想像當邊數大於
→ hwanger     : 4時的情形
推 hwanger     : 以下的程式碼雖然不是證明 但可以供原po做數值上的
→ hwanger     : 驗證
→ hwanger     : https://paste.ofcode.org/5pukpQUyiEsKX3b3YdjBMA