[代數] 對數方程式的解法

[RUOK5566 (烏綠微微)]

https://i.imgur.com/hut7bnC.jpg

化簡後得到鉛筆寫的式子（求r)
請問這題只能慢慢代數字用找的嗎？

試過雙邊取log (令 X = r/12)
log(1 + 186.5553 X ) = 133 * log( 1 + X )

或是寫成
log(1+X)[1+186.5553 X] = 133

但還是不知道怎麼下手囧

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.142.90.110 (臺灣)
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推 hwanger     : 目前沒有比較好的想法 不過對下面這個多項式
→ hwanger     : 1+5596.66*x/(30*12)-(1+x/12)^133 作牛頓法的話
→ hwanger     : 初始值設在0.05的話(因為這個多項式在0.05為正 在
→ hwanger     : 0.06為負) 作個四五次 就可以達到圖中解答的精度
瞭解～ 感謝幫忙解答m(._.)m
推 hwanger     : 例如在下列網址上計算
→ hwanger     : https://keisan.casio.com/exec/system/1244946907
（我去試試）
※ 編輯: RUOK5566 (220.142.90.110 臺灣), 08/06/2020 23:21:14
推 hwanger     : 等待其他能人解答
推 ahliang     : http://i.imgur.com/t1CtOke.jpg
我用工程計算機解方程式的功能
（說明書寫它使用牛頓法）
但算出來跟上面第一個答案一樣x=0
→ ahliang     : 直接算出答案
推 hwanger     : scipy.optimize.root預設是用MINPACK的HYBRD 不太確
→ hwanger     : 定WolframAlpha是用啥演算法
推 cuylerLin   : 話說其實我不太懂為什麽最後還要多滾一期？總共11年
→ cuylerLin   : 需要滾而已吧？
因為他前面 30*FVIFA 是期末年金終值
這個老師教法是 期初年金=期末年金多*一期XD
(前者看成後者的每一期PMT都提前一年）
→ cuylerLin   : 然後我剛剛找了一下我的財管筆記，這裡確實沒有速算
→ cuylerLin   : 法，只能按計算機，如果你是科學計算機就可以解方程
→ cuylerLin   : 式
→ cuylerLin   : 如果是要算YTM的話才有速算法
推 hwanger     : 本身沒碰過財金相關 如果這是考題之類的話 應該就是
→ hwanger     : c大所說的 用特殊的計算機或者試卷應該有附表之類的
原本想說財金題目需要的數學大概高中程度
(題目沒有附對數表
用能解方程式的計算機又得到0）
我唯一想得到的解法是代數字囧
但想說應該有更簡單的方法
→ hwanger     : 諮詢過清大王偉成老師的意見過後 也是建議牛頓法 意
→ hwanger     : 即如果真得有漂亮的解法的話 那也是非常聰明而罕見
推 hwanger     : 同時老師也有給另一個基於"固定點定理"的算法
查wiki之後的粗淺理解
固定點原理：滿足某些條件下，存在x使f(x)=x
第一次學到QQ
→ hwanger     : 如果令 y = 1+r/12 則原式可以換成y^n-ay+b=0的形式
→ hwanger     : 選取適當的alpha 我們可將式子換成
→ hwanger     : y = alpha y + (1-alpha)(y^n + b)/a
→ hwanger     : 令 f(y) = alpha y + (1-alpha)(y^n + b)/a
→ hwanger     : 考慮 y_{k+1} = f(y_k) 做迭代 如果有收歛 就有可能
→ hwanger     : 收歛到我們想的根 這裡alpha的選取是需要經驗和其他
→ hwanger     : 知識來分析的
→ hwanger     : 上面這個方法和牛頓法 都是在有"指數對數表"的情況
→ hwanger     : 下 勉強可以手算的
推 hwanger     : 以下是基於上述方法的程式碼 迭代5次就有圖片解答的
→ hwanger     : 精準度 其中alpha值是試出來的 冏
→ hwanger     : https://paste.ofcode.org/uzGvnhBvP8xFSyQ5LdV5ZN
推 aikotoba    : 這題目一定要按計算機
我用計算機只會代數字土法煉鋼> <
解方程式得到的答案（0）好像不夠精確
推 cuylerLin   : 我覺得這題不用往數學裡面想太多XD 財管這種找利率
→ cuylerLin   : 、隱含波動率之類的問題，最適合的方法反而是 bisec
→ cuylerLin   : tion method 就可以了，有些特別的題目例如找 YTM
→ cuylerLin   : 才會有 shorthand method
我以為自己數學忘光光才會解不出來XD
（可能非本科看不出方程式求根的難易度...）
推 hwanger     : XDD 因為我還蠻喜歡去思考這些東西背後的機理 其實
→ hwanger     : 看到這篇文的第一時間我也是用scipy去算答案 只是我
→ hwanger     : 假設原PO可能是想問有沒有比較clever或doable的作法
對的
殊不知除了牛頓法以外的解法我整個一知半解
╮(￣▽￣"")╭
→ hwanger     : 既然c大說財管那邊沒有特別的解法的話 那就是沒有簡
→ hwanger     : 單明瞭的方法
→ hwanger     : 我有特別google到討論這類多項式的文章 但大都需要
→ hwanger     : 一定的數學背景 所以就略去不談
推 cuylerLin   : 我自己是數學系出身XD 雖然數值分析學了一堆求根的
→ cuylerLin   : 方法，但學了財管才知道其實有時候二分法最簡單好用
→ cuylerLin   : XD 函數常常都是一連串很難微分的分式函數...
好像真的是這樣...
原本如h大所說以為有更簡明的方法 想請教各位
卻反而不小心把它複雜化了XD
※ 編輯: RUOK5566 (220.142.90.110 臺灣), 08/08/2020 22:30:24
推 cuylerLin   : 科學計算機不會算不出來吧？我以前考財管都是用 fx-
→ cuylerLin   : 127 欸，還是可能你調到精準度什麼之類的XD
→ cuylerLin   : 另外是通常財管裡面精準度有到e-04就可以了，實務上
→ cuylerLin   : 好像也是這樣，我也不確定為什麽，之前數值解財金PD
→ cuylerLin   : E最小誤差也差不多這樣
推 hwanger     : "用能解方程式的計算機又得到0">>>囧 因為0真的是
→ hwanger     : 根
→ hwanger     : "用能解方程式的計算機又得到0">>>囧 因為0真的是
→ hwanger     : 根
推 hwanger     : 我自己不論用scipy.optimize.root,牛頓法 還是固定
→ hwanger     : 點定理 都還是會先用bisection method (或簡單的說
→ hwanger     :  中間值定理) 確定一個夠小的區間 然後設定initial
→ hwanger     :  guess(前面我都設0.04)
推 hwanger     : 這些透過迭到得到近似值的演算法都很依賴於初始值
→ hwanger     :  偏偏現在所有求根的程式 基本上都是這種迭代型的演
→ hwanger     : 算法 (因為比較快 同時有些算法很穩定)
推 hwanger     : "（說明書寫它使用牛頓法）">>>看看說明書能不能設
→ hwanger     : 定迭代的初始值 應該要是可以 因為牛頓法對於初始
→ hwanger     : 值有一定程度的敏感度
推 hwanger     : ""可能非本科看不出方程式求根的難易度"">>>數學系
→ hwanger     : 也只是多學「分析根的性質的方法」一個對其他系很
→ hwanger     : 難的方程 通常對數學系的人也沒有變簡單
推 hwanger     : ""我唯一想得到的解法是代數字囧"">>>按照c大所說
→ hwanger     :  在財管裡 這是最適合的作法(bisection method) 所
→ hwanger     : 以你一開始方向其實就對了XD
推 sunev       : 樓上要不要直接回文？
→ hwanger     : 習慣推文 XDDD
→ wohtp       : 133個月，每月$30，拿回五千多，可以估算出一年趴數
→ wohtp       : 大概個位數，所以右邊泰勒展開大概ok。但是對照正確
→ wohtp       : 答案就知道左邊展開不太行…
推 hwanger     : XDD 其實log那行右邊如果只展到第一項其實也不太行
→ hwanger     : 在大概知道位數的情況下 就粗估要展到至少平方項
→ hwanger     : 133畢竟還是太大了